electrodynamics:nabla

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:nabla [2019/10/03 10:43] – [Оператор "набла", определение] rootelectrodynamics:nabla [2023/02/09 03:53] (текущий) – [Ротор] root
Строка 17: Строка 17:
 ротор, через векторное произведение оператора и вектора: ротор, через векторное произведение оператора и вектора:
 $$ $$
-\text{rot } \vec a = [\nabla \times \vec a] = ,+\text{rot } \vec a = [\nabla \times \vec a] =  
 +\left|\begin{array}{ccc} 
 +\vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ 
 +\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 
 +a_x & a_y & a_z 
 +\end{array}\right| 
 +.
 $$ $$
    
Строка 23: Строка 29:
 ==== Градиент ==== ==== Градиент ====
  
-Легко проверяется, что действие оператора набла на координаты: +Легко вычисляется действие оператора набла на координаты вектора $\vec r$, т.е. когда в качестве скалярной функции рассматривается координата: 
 <WRAP center round box 60%> <WRAP center round box 60%>
 $$ $$
Строка 30: Строка 36:
 </WRAP> </WRAP>
  
-приводит к выделению +это приводит к выделению 
-соответствующих орт, тогда действие на модуль радиус вектора $r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$+соответствующих орт. Тогда действие на модуль радиус вектора $r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
 должен приводить к выделению $\vec{n}$ --- направления должен приводить к выделению $\vec{n}$ --- направления
 по этому вектору $\vec{r}$, так как мы всегда можем выбрать соответствующую по этому вектору $\vec{r}$, так как мы всегда можем выбрать соответствующую
Строка 48: Строка 54:
 \frac{\vec{r}}{r}. \frac{\vec{r}}{r}.
 $$  $$ 
- 
 </WRAP> </WRAP>
  
-Давайте вычислим и остальные действия оператора $\nabla$ на вектор +=== Градиент от сложной функции ===
-$\vec{r}$, такие как дивергенция:  +
-<WRAP center round box 60%> +
-$$ +
-\text{div } \vec r=(\nabla\cdot\vec{r})=\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z=3 +
-$$+
  
-</WRAP> +Если рассмотреть вместо скалярной функции --- произведение двух функций $u\,v, $ 
-и ротор +тогда действие градиента: 
-$$\text{rot }\vec{r}=\left|\begin{array}{ccc} +\[ 
-\vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ +\nabla uv = u \nabla v + v\nabla u. 
-\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ +\]
-x & y & z +
-\end{array}\right|=0,$$ +
-так как производная берётся всегда не по своей координате, например, +
-$$ +
-\left(\text{rot }\vec{r}\right)_{x}=\frac{\partial}{\partial y}z-\frac{\partial}{\partial z}y=0-0=0. +
-$$  +
-Итак: +
-<WRAP center round box 60%> +
-$$ +
-\text{rot }\vec{r}=0. +
-$$+
  
-</WRAP> +Рассмотрим, теперь, скалярную функцию, полученную из скалярного произведения двух векторов:
-Вычислим, теперь:+
 $$ $$
 \nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=\nabla(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}). \nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=\nabla(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}).
Строка 141: Строка 129:
 $$ $$
  
 +==== Дивергенция ====
  
 +Рассмотрим дивергенцию от произведения вектора $\vec a$ на скаляр $u$:
 +$$
 +\text{div } \, u \vec a=(\nabla\cdot u \,  \vec a)=
 +\frac{\partial}{\partial x}(u \,  a_x)+\frac{\partial}{\partial y} (u \,  a_y)+\frac{\partial }{\partial z} (u  \, a_z)=
 +$$
 +$$
 +u  \, \frac{\partial}{\partial x} a_x+ u  \, \frac{\partial}{\partial y} a_y+ u \, \frac{\partial }{\partial z}  a_z
 ++
 +a_x \frac{\partial}{\partial x}u + a_y \frac{\partial}{\partial y} u + a_z \frac{\partial }{\partial z} u=
 +$$
 +$$
 +u  \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla  \, u)
 +=
 +u  \, \text{div } \vec a + (\vec a \cdot \text{grad } u)
 +.
 +$$
 +
 +Итак:
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\bigl(\nabla \cdot (u  \,\vec a) \bigr) = u  \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla  \, u).
 +$$
 +
 +</WRAP>
 +
 +Давайте вычислим и остальные действия оператора $\nabla$ на вектор
 +$\vec{r}$: 
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\text{div } \vec r=(\nabla\cdot\vec{r})=\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z=3
 +$$
 +
 +</WRAP>
 +
 +==== Ротор ====
 +
 +$$
 +\text{rot }\vec{r}=
 +\left|\begin{array}{ccc}
 +\vec{e}_{x} & \vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\
 +\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
 +x & y & z
 +\end{array}\right|
 +=0,
 +$$
 +так как производная берётся всегда не по своей координате, например,
 +$$
 +\left(\text{rot }\vec{r}\right)_{x}=\frac{\partial}{\partial y}z-\frac{\partial}{\partial z}y=0-0=0.
 +$$ 
 +Итак:
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\text{rot }\vec{r}=0.
 +$$
 +</WRAP>
 +
 +Ещё одно важное тождество:
 +
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\text{rot }(\text{rot }\vec{A})=\text{grad }(\text{div }\vec{A}) - \Delta \vec{A}.
 +$$
 +</WRAP>
  
  
-\[ 
-\nabla uv = u \nabla v + v\nabla u. 
-\]