electrodynamics:nabla

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:nabla [2019/10/03 10:48] – [Градиент] rootelectrodynamics:nabla [2023/02/09 03:53] (текущий) – [Ротор] root
Строка 29: Строка 29:
 ==== Градиент ==== ==== Градиент ====
  
-Легко проверяется, что действие оператора набла на координаты: +Легко вычисляется действие оператора набла на координаты вектора $\vec r$, т.е. когда в качестве скалярной функции рассматривается координата: 
 <WRAP center round box 60%> <WRAP center round box 60%>
 $$ $$
Строка 36: Строка 36:
 </WRAP> </WRAP>
  
-приводит к выделению +это приводит к выделению 
-соответствующих орт, тогда действие на модуль радиус вектора $r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$+соответствующих орт. Тогда действие на модуль радиус вектора $r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
 должен приводить к выделению $\vec{n}$ --- направления должен приводить к выделению $\vec{n}$ --- направления
 по этому вектору $\vec{r}$, так как мы всегда можем выбрать соответствующую по этому вектору $\vec{r}$, так как мы всегда можем выбрать соответствующую
Строка 54: Строка 54:
 \frac{\vec{r}}{r}. \frac{\vec{r}}{r}.
 $$  $$ 
- 
 </WRAP> </WRAP>
  
 +=== Градиент от сложной функции ===
  
-</WRAP> +Если рассмотреть вместо скалярной функции --- произведение двух функций $u\,v, $ 
-Вычислим, теперь:+тогда действие градиента: 
 +\[ 
 +\nabla uv = u \nabla v + v\nabla u. 
 +\] 
 + 
 +Рассмотрим, теперь, скалярную функцию, полученную из скалярного произведения двух векторов:
 $$ $$
 \nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=\nabla(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}). \nabla(\vec{a}\cdot\vec{b})=\nabla(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}).
Строка 125: Строка 130:
  
 ==== Дивергенция ==== ==== Дивергенция ====
 +
 +Рассмотрим дивергенцию от произведения вектора $\vec a$ на скаляр $u$:
 +$$
 +\text{div } \, u \vec a=(\nabla\cdot u \,  \vec a)=
 +\frac{\partial}{\partial x}(u \,  a_x)+\frac{\partial}{\partial y} (u \,  a_y)+\frac{\partial }{\partial z} (u  \, a_z)=
 +$$
 +$$
 +u  \, \frac{\partial}{\partial x} a_x+ u  \, \frac{\partial}{\partial y} a_y+ u \, \frac{\partial }{\partial z}  a_z
 ++
 +a_x \frac{\partial}{\partial x}u + a_y \frac{\partial}{\partial y} u + a_z \frac{\partial }{\partial z} u=
 +$$
 +$$
 +u  \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla  \, u)
 +=
 +u  \, \text{div } \vec a + (\vec a \cdot \text{grad } u)
 +.
 +$$
 +
 +Итак:
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\bigl(\nabla \cdot (u  \,\vec a) \bigr) = u  \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla  \, u).
 +$$
 +
 +</WRAP>
  
 Давайте вычислим и остальные действия оператора $\nabla$ на вектор Давайте вычислим и остальные действия оператора $\nabla$ на вектор
-$\vec{r}$, такие как дивергенция: +$\vec{r}$: 
 <WRAP center round box 60%> <WRAP center round box 60%>
 $$ $$
Строка 155: Строка 185:
 \text{rot }\vec{r}=0. \text{rot }\vec{r}=0.
 $$ $$
 +</WRAP>
  
 +Ещё одно важное тождество:
  
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\text{rot }(\text{rot }\vec{A})=\text{grad }(\text{div }\vec{A}) - \Delta \vec{A}.
 +$$
 +</WRAP>