Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:nabla [2019/10/03 11:16] – [Дивергенция] root
+++ electrodynamics:nabla [2023/02/09 03:53] (текущий) – [Ротор] root
@@ Строка 133: / Строка 133: @@
 Рассмотрим дивергенцию от произведения вектора $\vec a$ на скаляр $u$:
 $$
-\text{div } u \vec a=(\nabla\cdot u \vec a)=
+\text{div } \, u \vec a=(\nabla\cdot u \,  \vec a)=
-\frac{\partial}{\partial x}(u a_x)+\frac{\partial}{\partial y} (u a_y)+\frac{\partial }{\partial z} (u a_z)=
+\frac{\partial}{\partial x}(u \,  a_x)+\frac{\partial}{\partial y} (u \,  a_y)+\frac{\partial }{\partial z} (u  \, a_z)=
 $$
 $$
-u \frac{\partial}{\partial x} a_x+ u \frac{\partial}{\partial y} a_y+ u\frac{\partial }{\partial z}  a_z
+u  \, \frac{\partial}{\partial x} a_x+ u  \, \frac{\partial}{\partial y} a_y+ u \, \frac{\partial }{\partial z}  a_z
 +
 a_x \frac{\partial}{\partial x}u + a_y \frac{\partial}{\partial y} u + a_z \frac{\partial }{\partial z} u=
 $$
 $$
-u (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla u).
+u  \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla  \, u)
+=
+u  \, \text{div } \vec a + (\vec a \cdot \text{grad } u)
+.
 $$
+Итак:
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+\bigl(\nabla \cdot (u  \,\vec a) \bigr) = u  \, (\nabla \cdot \vec a ) + (\vec a \cdot \nabla  \, u).
+$$
+</WRAP>
 Давайте вычислим и остальные действия оператора $\nabla$ на вектор
-$\vec{r}$, такие как дивергенция:
+$\vec{r}$:
 <WRAP center round box 60%>
 $$
@@ Строка 175: / Строка 187: @@
 </WRAP>
+Ещё одно важное тождество:
+<WRAP center round box 60%>
+$$
+\text{rot }(\text{rot }\vec{A})=\text{grad }(\text{div }\vec{A}) - \Delta \vec{A}.
+$$
+</WRAP>