Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res04.3 [2019/09/12 11:26] – root
+++ electrodynamics:res04.3 [2019/12/24 17:05] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+Найти распределение потенциала $\varphi (x ,y)$ в плоском слое $0< x< d$, если $\varphi (0, y) = A \sin(\alpha y)$, $\varphi (d, y)=\varphi _0 + B \sin(\alpha y)$?
+-----
 Будем искать решение в виде:
 $$\varphi=\varphi_{1}(x)\cdot\sin(\alpha y)+\varphi_{2}(x).$$
@@ Строка 20: / Строка 24: @@
 $$C+D=A, C\cdot e^{\alpha d}+D\cdot e^{-\alpha d}=B.$$
 Решая её найдём:
-$$C=\frac{A\cdot e^{-\alpha d}-B}{-e^{\alpha d}+e^{-\alpha d}}=\frac{A\cdot e^{-\alpha d}-B}{\sh{\alpha d}},$$
+$$C=\frac{A\cdot e^{-\alpha d}-B}{-e^{\alpha d}+e^{-\alpha d}}=\frac{B-A\cdot e^{-\alpha d}}{2\cdot \text{sh} (\alpha d)},$$
-$$D=-\frac{A\cdot e^{\alpha d}-B}{-e^{\alpha d}+e^{-\alpha d}}.$$
+$$D=-\frac{A\cdot e^{\alpha d}-B}{-e^{\alpha d}+e^{-\alpha d}}=\frac{A\cdot e^{\alpha d}-B}{2 \cdot \text{sh} (\alpha d)},$$
+записав через гиперболический синус.
 Окончательно запишем ответ:
 <WRAP center round box 60%>
-$$\varphi=\Biggl(\frac{A\cdot e^{-\alpha d}-B}{-e^{\alpha d}+e^{-\alpha d}}\cdot e^{\alpha \cdot x}-\frac{A\cdot e^{\alpha d}-B}{-e^{\alpha d}+e^{-\alpha d}}\cdot e^{-\alpha \cdot x}\Biggr)\cdot\sin(\alpha y)+\frac{\varphi_{0}\cdot x}{d}.$$
+$$\varphi=
+\frac{B\cdot \text{sh} (\alpha x)+A\cdot \text{sh} \Bigl(\alpha (d-x)\Bigr)}{\text{sh} (\alpha d)}\cdot\sin(\alpha y)+\frac{\varphi_{0}\cdot x}{d}.$$
 </WRAP>