electrodynamics:res04.4

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res04.4 [2019/12/24 17:09] – создано rootelectrodynamics:res04.4 [2019/12/24 17:14] (текущий) – root
Строка 12: Строка 12:
 \psi(x,y)=X(x)\cdot Y(y). \psi(x,y)=X(x)\cdot Y(y).
 \end{equation} \end{equation}
-Тогда, разделив уравнение~(1) на \(X(x)Y(y)\), его можно переписать в виде+Тогда, разделив уравнение (1) на \(X(x)Y(y)\), его можно переписать в виде
 \begin{equation} \begin{equation}
 \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}+\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}=0. \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}+\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}=0.
 \end{equation} \end{equation}
-Перенеся одно из слагаемых в правую часть уравнения, получим, что функция от \(x\) равна во всей области определения функции от \(y\), что возможно только в случае когда обе эти функции -- константы, причем+Перенеся одно из слагаемых в правую часть уравнения, получим, что функция от \(x\) равна во всей области определения функции от \(y\), что возможно только в случае когда обе эти функции --- константы, причем
 \begin{equation} \begin{equation}
  \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}=- \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}=\lambda^2.  \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx^2}=- \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}=\lambda^2.
Строка 46: Строка 46:
 Подставив значение \(\lambda_n\) во второе уравнение системы (5), получим решение этого уравнения Подставив значение \(\lambda_n\) во второе уравнение системы (5), получим решение этого уравнения
 \[ \[
-X(x)=A\sh \frac{n\pi}{b}x+B\ch \frac{n\pi}{b}x.+X(x)=A\text{sh} \frac{n\pi}{b}x+B\text{ch} \frac{n\pi}{b}x.
 \] \]
 Из граничного условия на границе \(x=0\) следует, что \(X(0)=0\), откуда получается, что частные решения этого уравнения, удовлетворяющее условию на левой границе имеют вид Из граничного условия на границе \(x=0\) следует, что \(X(0)=0\), откуда получается, что частные решения этого уравнения, удовлетворяющее условию на левой границе имеют вид
 \begin{equation} \begin{equation}
-X_n=B_n\sh \frac{n\pi}{b}x.+X_n=B_n\text{sh} \frac{n\pi}{b}x.
 \end{equation} \end{equation}
 Используя полученные частные решения для \(X\) и \(Y\), а также принцип суперпозиции, можно записать общее решение всей задачи (удовлетворяющее только 3 граничным условиям) в виде Используя полученные частные решения для \(X\) и \(Y\), а также принцип суперпозиции, можно записать общее решение всей задачи (удовлетворяющее только 3 граничным условиям) в виде
 \begin{equation} \begin{equation}
-\varphi(x,y)=\sum \limits_{n=1}^\infty  A_n \sh\frac{n\pi}{b}x\sin\frac{n\pi}{b}y.+\varphi(x,y)=\sum \limits_{n=1}^\infty  A_n \text{sh}\frac{n\pi}{b}x\sin\frac{n\pi}{b}y.
 \end{equation} \end{equation}
 Теперь можно использовать четвертое граничное условие (\(\varphi(a,y)=U\)) для определения коэффициентов \(A_n\). Это граничное условие переписывается в виде Теперь можно использовать четвертое граничное условие (\(\varphi(a,y)=U\)) для определения коэффициентов \(A_n\). Это граничное условие переписывается в виде
 \begin{equation} \begin{equation}
-\varphi(a,y)=\sum \limits_{n=1}^\infty  A_n \sh\frac{n\pi a}{b} \sin\frac{n\pi}{b}y=U.+\varphi(a,y)=\sum \limits_{n=1}^\infty  A_n \text{sh}\frac{n\pi a}{b} \sin\frac{n\pi}{b}y=U.
 \end{equation} \end{equation}
-Для определения коэффициентов этого ряда можно воспользоваться формулами для определения коэффициентов ряда Фурье, поскольку именно ряд Фурье по \(y\) записан в выражении для граничного условия. А можно явно домножить правую и левую часть уравнения (9) на \(\sin \frac{m\pi}{b}y\)  ипроинтегрировать обе стороны полученного равенства по \(y\) от \(0\) до \(b\)/ Поскольку на этом интервале функции \(\sin \frac{m\pi}{b}y\) для разных \(n\) и \(m\) ортогональны, то в сумме  останется только член с \(n=m\).+Для определения коэффициентов этого ряда можно воспользоваться формулами для определения коэффициентов ряда Фурье, поскольку именно ряд Фурье по \(y\) записан в выражении для граничного условия. А можно явно домножить правую и левую часть уравнения (9) на \(\sin \frac{m\pi}{b}y\)  и проинтегрировать обе стороны полученного равенства по \(y\) от \(0\) до \(b\)/ Поскольку на этом интервале функции \(\sin \frac{m\pi}{b}y\) для разных \(n\) и \(m\) ортогональны, то в сумме  останется только член с \(n=m\).
 \begin{equation} \begin{equation}
-A_m \sh\frac{m\pi a }{b}\int\limits_0^b \sin^2 \frac{m \pi y}{b} dy=U\int\limits_0^b\sin\frac{m\pi y}{b} dy.+A_m \text{sh}\frac{m\pi a }{b}\int\limits_0^b \sin^2 \frac{m \pi y}{b} dy=U\int\limits_0^b\sin\frac{m\pi y}{b} dy.
 \end{equation} \end{equation}
 Интеграл слева вычисляется следующим образом Интеграл слева вычисляется следующим образом
Строка 74: Строка 74:
 Из этого выражения ясно, что отличны от нуля коэффициенты только при нечетном \(m\), т.е. при \(m=2k+1\). Окончательно получаем Из этого выражения ясно, что отличны от нуля коэффициенты только при нечетном \(m\), т.е. при \(m=2k+1\). Окончательно получаем
 \[ \[
-A_{2k+1}=\frac{4U}{(2k+1)\pi\sh\frac{(2k+1)\pi a}{b}},+A_{2k+1}=\frac{4U}{(2k+1)\pi\text{sh}\frac{(2k+1)\pi a}{b}},
 \] \]
 или, окончательно получаем или, окончательно получаем
 \[ \[
-\varphi(x,y)=\frac{4U}{\pi}\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\sh\frac{(2k+1)\pi x}{b}}{\sh\frac{(2k+1)\pi a}{b}} \sin \frac{(2k+1)\pi y}{b}.+\varphi(x,y)=\frac{4U}{\pi}\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\text{sh}\frac{(2k+1)\pi x}{b}}{\text{sh}\frac{(2k+1)\pi a}{b}} \sin \frac{(2k+1)\pi y}{b}.
 \] \]
 таким образом, использованный метод разделения переменных позволил нам получить общее решение о потенциале внутри прямоугольника в общем виде. При этом следует сделать два замечания таким образом, использованный метод разделения переменных позволил нам получить общее решение о потенциале внутри прямоугольника в общем виде. При этом следует сделать два замечания
-\begin{enumerate} +  - Если необходимо решить задачу с разными значениями потенциала на всех четырех границах, то это делается на основании принципа суперпозиции, используя полученное выше решение. 
-\item Если необходимо решить задачу с разными значениями потенциала на всех четырех границах, то это делается на основании принципа суперпозиции, используя полученное выше решение. +  - Ряд сходится довольно плохо, особенно вблизи правой границы.
-\item Ряд сходится довольно плохо, особенно вблизи правой границы. +
-\end{enumerate} +
-Для демонстрации этого была написана программа для расчета численного примера. Результаты расчета показаны на графиках. Видно (на третьем графике) что даже при использовании 20 членов ряда значение потенциала на границе колеблется, т.е. граничное условие выполняется приближенно. +
-\begin{figure}[t] +
-\begin{center} +
-  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{drive_rect.eps}\\ +
-\end{center} +
-\end{figure} +