electrodynamics:res1.19

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.19 [2019/09/03 16:18] – rootelectrodynamics:res1.19 [2019/12/24 16:45] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.19. Используя теорему Гаусса, найти: 
 +
 +а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью $\sigma$; 
 +
 +б) поле плоского конденсатора;
 +
 +в) поле равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити с линейной плотностью $\varkappa$.
 +
 +-----
 +
 а) По теореме Гаусса интеграл по поверхности $S$ для поля $\vec E$ ограничивающий некоторый объём а) По теореме Гаусса интеграл по поверхности $S$ для поля $\vec E$ ограничивающий некоторый объём
 $\oint \limits_S (\vec E\cdot d\vec S) = \oint \limits_S E_n dS = 4\pi q$ равен (с точностью до $4\pi$) заряду $q$, заключённому в этом объёме. $\oint \limits_S (\vec E\cdot d\vec S) = \oint \limits_S E_n dS = 4\pi q$ равен (с точностью до $4\pi$) заряду $q$, заключённому в этом объёме.
  
 Ограничим часть плоскости прямоугольником с гранями перпендикулярными и параллельными плоскости. Тогда из симметрии задачи поле $\vec E$ не может иметь компоненту параллельную плоскости, т.к. в таком случае, нарушается эквивалентность между "правым" "левым" направлениями. Тогда будет иметься только одно направление от/к плоскости. Следовательно,  Ограничим часть плоскости прямоугольником с гранями перпендикулярными и параллельными плоскости. Тогда из симметрии задачи поле $\vec E$ не может иметь компоненту параллельную плоскости, т.к. в таком случае, нарушается эквивалентность между "правым" "левым" направлениями. Тогда будет иметься только одно направление от/к плоскости. Следовательно, 
-$$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\cdot S) = 4\pi q= 4\pi \sigma \cdot S.$$ +$$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\cdot S) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\sigma \cdot S).$$ 
-Где двойка для площади получается из за того, что сверху и снизу от плоскости рассматривается один и тот же поток. Сокращая получим выражение: $E = 2\pi \sigma $. Если выбрать направление поля для положительного поверхностной плотности для плоскости расположенной при $z=0$, то можно записать+Где двойка для площади получается из за того, что сверху и снизу от плоскости один и тот же поток (мы всегда можем рассмотреть верхние/нижние грани на одинаковом расстоянии от плоскости). Сокращая получим выражение: $E = 2\pi \sigma $. Если выбрать направление поля для положительного поверхностной плотности для плоскости расположенной при $z=0$, то можно записать
 <WRAP center round box 60%> <WRAP center round box 60%>
 $$\vec E = 2\pi \sigma \frac{\vec z}{|z|}.$$ $$\vec E = 2\pi \sigma \frac{\vec z}{|z|}.$$
Строка 10: Строка 20:
  
  
-б) внутри конденсатора  $$\left|\vec E \right| = \frac{4\pi q}{S}, \text{ вне } \vec E = 0;$$+б) Поле внутри конденсатора и снаружи можно найти из предыдущего решения по суперпозиции, т.к. для конденсатора две обкладки имеют противоположный заряд, то поле внутри: <WRAP center round box 60%> 
 +$$\left|\vec E \right| = \frac{4\pi q}{S},$$ 
 +</WRAP> 
 +а вне  
 +<WRAP center round box 60%> 
 +$$\vec E = 0.$$ 
 +</WRAP> 
 + 
 + 
 +в) Рассмотрим поток поля от заряженной нити через поверхность цилиндра. Поток через основания цилиндра равно нулю так же из соображения симметрии, а через боковые поверхности:  
 +$$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\pi r \cdot l) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\varkappa \cdot l).$$ 
 +Так как поле будет иметь только радиальную компоненту, то 
 +<WRAP center round box 60%> 
 +$$ \vec E = \frac{{2\varkappa }}{{r^2 }}\vec r.$$ 
 +</WRAP>
  
-в) $$ \vec E = \frac{{2\varkappa }}{{r^2 }}\vec r.$$