electrodynamics:res1.23

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.23 [2019/09/05 12:17] – [в)] rootelectrodynamics:res1.23 [2019/12/24 16:49] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-Эти задачи,  обладают такой симметрией распределения +1.23. Используя теорему Гаусса, найти  поля  равномерно заряженных:
-зарядов, что можно, не решая, указать поверхности, +
-на которых напряженность электрического поля $\vec{E}$ +
-перпендикулярна ей в каждой точке и постоянна по величине. +
-Для нахождения поля $\vec{E}$ в таких задачах достаточно применения +
-теоремы Гаусса, смысл которой для вакуума состоит в  следующем: +
-поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую +
-поверхность $S$ равен полному заряду, заключенному внутри +
-неё (умноженному на $4\pi$ в системе $CGSE$).+
  
-Математическое выражение теоремы Гаусса имеет вид +а) шарика радиуса $a$ с объемной плотностью $\rho$; 
-$$ + 
-(1) \hspace{10pt}  \oint\limits_S(\vec{E}\,d\vec{s})=4\pi\int\limits_V\rho dv, +б) бесконечного цилиндра радиуса $a$ с линейной плотностью $\eta$; 
-$$ + 
-где $d\vec{s}$ --- вектор, по величине равный величине элементарной +в) бесконечного плоского слоя толщины $2a$ с объемной плотностью заряда $\rho$.
-площадки $ds$, а по направлению совпадает с направлением +
-внешней нормали к этой площадке, т.е. нормали, направленной +
-наружу; $\rho$ --- объемная плотность заряда.+
  
-Интеграл с левой стороны есть поток вектора $\vec{E}$ через +-----
-замкнутую поверхность $S$. Под интегралом соответсвенно стоит +
-скалярное произведение векторов $\vec{E}$ и $d\vec{s}$, +
-равное потоку вектора $\vec{E}$ через малую площадку $ds$. +
-Интеграл с правой стороны берется по объему, заключенному внутри +
-поверхности, и равен полному  заряду, находящемуся в нем. Успех +
-решения с помощью  соотношения (1) обусловливается тем, что, +
-выбирая поверхность интегрирования, на которой напряженность +
-поля $E$ постоянна, можно $E$ вынести за знак интеграла и +
-тогда это соотношение дает возможность найти $\vec{E}$.+
  
 ==== а) ==== ==== а) ====
Строка 60: Строка 40:
 $$ $$
 Поэтому Поэтому
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
 \vec{E}=\frac{4}{3}\pi\rho\vec{R}\qquad\mbox{при}\qquad R\le a, \vec{E}=\frac{4}{3}\pi\rho\vec{R}\qquad\mbox{при}\qquad R\le a,
Строка 67: Строка 48:
 \frac{Q}{R^3}\vec{R}\qquad\mbox{при}\qquad R>a, \frac{Q}{R^3}\vec{R}\qquad\mbox{при}\qquad R>a,
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 где $Q=\frac{4}{3}\pi a^3\rho$ --- полный заряд шара. где $Q=\frac{4}{3}\pi a^3\rho$ --- полный заряд шара.
  
Строка 108: Строка 91:
  
 Подставляя найденные значения в уравнение (1), получаем: Подставляя найденные значения в уравнение (1), получаем:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
 \vec{E}=\frac{2\eta}{a^2}\,\vec{r} \vec{E}=\frac{2\eta}{a^2}\,\vec{r}
Строка 116: Строка 100:
 \qquad\;\mbox{при}\qquad r> a. \qquad\;\mbox{при}\qquad r> a.
 $$ $$
 +
 +</WRAP>
  
 ==== в) ====  ==== в) ==== 
Строка 134: Строка 120:
 взаимно перпендикулярны. Значит, поток через поверхность куба взаимно перпендикулярны. Значит, поток через поверхность куба
 равен $2ES$. С другой стороны, правая сторона выражения (1) будет равен $2ES$. С другой стороны, правая сторона выражения (1) будет
-равна: $4\pi\eta S\cdot|z|$, если $z\le a$, и $4\pi\eta S\cdot2a$,+равна: $4\pi\sigma S\cdot|z|$, если $z\le a$, и $4\pi\sigma S\cdot2a$,
 если $z>a$.  Поэтому если $z>a$.  Поэтому
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
-\vec{E}=4\pi\eta\vec{z}+\vec{E}=4\pi\sigma\vec{z}
 \;\;\;\mbox{при}\;\;\; |z|\le a\;, \;\;\;\mbox{при}\;\;\; |z|\le a\;,
 $$ $$
 $$ $$
-\vec{E}=4\pi\eta a\,\frac{\vec z}{z}+\vec{E}=4\pi\sigma a\,\frac{\vec z}{z}
 \;\;\;\mbox{при}\;\;\; |z|> a\;. \;\;\;\mbox{при}\;\;\; |z|> a\;.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +