Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.28 [2019/09/13 10:14] – root
+++ electrodynamics:res1.28 [2020/09/19 18:27] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.28. Найти силу и вращательный
+момент, приложенные к электрическому диполю с моментом $\vec{p}$ в
+поле точечного заряда $q$.
+-----
 {{:electrodynamics:выделение_049.jpg?direct&200 |}}
 Сила, действующая на диполь в поле
@@ Строка 5: / Строка 11: @@
 заряда $q$:
 \begin{equation}
-\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}),
+(1) \hspace{10pt} \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}),
 \end{equation}
 где $\vec{E_1}$ --- напряженность  электрического  поля,
@@ Строка 14: / Строка 20: @@
 оставить в нем два первых отличных от нуля члена
 $$
-\vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)=$$
+\vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)\approx$$
-$$=\vec{E}(\vec{R})+
+$$\vec{E}(\vec{R})+
 \ell_x\frac{\partial\vec{E}}{\partial x}\;+\;
 \ell_y\frac{\partial\vec{E}}{\partial y}\;+\;
-\ell_z\frac{\partial\vec{E}}{\partial z}\approx
+\ell_z\frac{\partial\vec{E}}{\partial z} =$$
-\vec{E_1}\;+\;(\vec{\ell}\,\vec{\nabla})\vec{E},
 $$
-где $(\vec{\ell}\,\vec{\nabla})$ --- скалярное произведение  вектора
+\vec{E_1}\;+\;(\vec{\ell}\,{\nabla})\vec{E},
-$\vec{\ell}$  и  вектора  $\vec{\nabla}\!=\!\Big(\vec{i}\frac{\partial}
+$$
+где $(\vec{\ell}\,{\nabla})$ --- скалярное произведение  вектора
+$\vec{\ell}$  и  вектора  ${\nabla}\!=\!\Big(\vec{i}\frac{\partial}
 {\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+
 \vec{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Big)$.
@@ Строка 30: / Строка 37: @@
 со стороны точечного заряда:
 \begin{equation}
-\vec{F}=(\vec{P}\vec{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}=
+(2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}=
 q\,\bigg(P_x\frac{\partial}{\partial x}\;+\;
 P_y\frac{\partial}{\partial y}\;+\;
@@ Строка 48: / Строка 55: @@
 {R^3}\biggr)=
 P_z\biggl(\frac{\vec{k}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}z\biggr)\;,$$
-где $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ -- единичные векторы в
+где $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ --- единичные векторы в
-направлениях соответственно $X$,~$Y$,~$Z$. Подставляя вычисленные
+направлениях соответственно $X$, $Y$, $Z$. Подставляя вычисленные
 соотношения в уравнение (2), получаем
+<WRAP center round box 60%>
 \begin{equation}
-\vec{F}=q\biggl(\frac{\vec{P}}{R^3}-
+(3) \hspace{10pt} \vec{F}=q\biggl(\frac{\vec{P}}{R^3}-
 \frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}\biggr)\;.
 \end{equation}
+</WRAP>
 Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда, равна
 по  абсолютной величине и противоположна по направлению силе,
 действующей на заряд в поле диполя.
-Поэтому из формулы (3) следует, что поле, создаваемое диполем в точке,
+Поэтому формулу (3) можно получить и из предыдущей [[res1.27|задачи 1.27]] по полю диполя:
-определяемой радиус--вектором $\vec{R}$
-на больших расстояниях,  будет иметь вид
 $$
 \vec{E}_\text{дип}=-\frac{\vec{P}}{R^3}+
@@ Строка 68: / Строка 76: @@
 Момент сил, действующий на диполь во внешнем поле $\vec{E}$,
 равен $\vec{N}=[\vec{P}\times\vec{E}]$. Подставляя в эту  формулу поле
-точечного  заряда \\ $\vec{E}=q\vec{R}/R^3$, получаем
+точечного  заряда \\ $\vec{E}=q\frac{\vec R}{R^3}$, получаем
-$$\vec{N}=q\frac{[\vec{P}\times\vec{R}]}{R^3},$$
+<WRAP center round box 60%>
-где $\vec{R}$ --- радиус-вектор, проведенный из точки нахождения
+$$
+\vec{N}=q\frac{[\vec{P}\times\vec{R}]}{R^3},
+$$
+</WRAP>
+где $\vec{R}$ --- радиус--вектор, проведенный из точки нахождения
 точечного заряда $q$ в точку, где находится диполь.
+С другой стороны момент можно подсчитать и непосредственно, воспользовавшись формулой:
+$$
+\vec{N}=\sum \limits _{i}[\vec{r}_{i}\times\vec{F_{i}}],
+$$
+где $\vec{r}_{i}$ --- радиус векторы приложенных сил рассмотрим относительно некоторой точки на оси соединяющей заряды диполя --- $\vec r_1 = \vec b, \vec r_2 = \vec a+\vec b$, тогда:
+$$
+\vec{N}=[\vec{b}\times\vec{F}_{-e}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{F}_{+e}]=\frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{R}+\vec{a})]=
+$$
+$$
+\frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\approx
+$$
+$$
+\frac{eq}{R^{3}}\left(-[\vec{b}\times\vec{R}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\right)=\frac{eq}{R^{3}}[\vec{a}\times\vec{R}]=\frac{q}{R^{3}}[\vec{P}\times\vec{R}].
+$$