electrodynamics:res1.28

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.28 [2019/09/13 10:28] – rootelectrodynamics:res1.28 [2020/09/19 18:27] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.28. Найти силу и вращательный
 +момент, приложенные к электрическому диполю с моментом $\vec{p}$ в
 +поле точечного заряда $q$.
 +
 +-----
 +
 {{:electrodynamics:выделение_049.jpg?direct&200 |}} {{:electrodynamics:выделение_049.jpg?direct&200 |}}
 Сила, действующая на диполь в поле Сила, действующая на диполь в поле
Строка 31: Строка 37:
 со стороны точечного заряда: со стороны точечного заряда:
 \begin{equation} \begin{equation}
-\vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}=+(2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}=
 q\,\bigg(P_x\frac{\partial}{\partial x}\;+\; q\,\bigg(P_x\frac{\partial}{\partial x}\;+\;
 P_y\frac{\partial}{\partial y}\;+\; P_y\frac{\partial}{\partial y}\;+\;
Строка 49: Строка 55:
 {R^3}\biggr)= {R^3}\biggr)=
 P_z\biggl(\frac{\vec{k}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}z\biggr)\;,$$ P_z\biggl(\frac{\vec{k}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}z\biggr)\;,$$
-где $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ -- единичные векторы в +где $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ --- единичные векторы в 
-направлениях соответственно $X$,~$Y$,~$Z$. Подставляя вычисленные+направлениях соответственно $X$, $Y$, $Z$. Подставляя вычисленные
 соотношения в уравнение (2), получаем соотношения в уравнение (2), получаем
 +<WRAP center round box 60%>
 \begin{equation} \begin{equation}
-\vec{F}=q\biggl(\frac{\vec{P}}{R^3}-+(3) \hspace{10pt} \vec{F}=q\biggl(\frac{\vec{P}}{R^3}-
 \frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}\biggr)\;. \frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}\biggr)\;.
 \end{equation} \end{equation}
 +</WRAP>
 +
 Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда, равна Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда, равна
 по  абсолютной величине и противоположна по направлению силе, по  абсолютной величине и противоположна по направлению силе,
 действующей на заряд в поле диполя. действующей на заряд в поле диполя.
-Поэтому из формулы (3) следует, что поле, создаваемое диполем в точке, +Поэтому формулу (3) можно получить и из предыдущей [[res1.27|задачи 1.27]] по полю диполя:
-определяемой радиус--вектором $\vec{R}$ +
-на больших расстояниях,  будет иметь вид+
 $$ $$
 \vec{E}_\text{дип}=-\frac{\vec{P}}{R^3}+ \vec{E}_\text{дип}=-\frac{\vec{P}}{R^3}+
Строка 69: Строка 76:
 Момент сил, действующий на диполь во внешнем поле $\vec{E}$, Момент сил, действующий на диполь во внешнем поле $\vec{E}$,
 равен $\vec{N}=[\vec{P}\times\vec{E}]$. Подставляя в эту  формулу поле равен $\vec{N}=[\vec{P}\times\vec{E}]$. Подставляя в эту  формулу поле
-точечного  заряда \\ $\vec{E}=q\vec{R}/R^3$, получаем +точечного  заряда \\ $\vec{E}=q\frac{\vec R}{R^3}$, получаем 
-$$\vec{N}=q\frac{[\vec{P}\times\vec{R}]}{R^3},$$ +<WRAP center round box 60%> 
-где $\vec{R}$ --- радиус-вектор, проведенный из точки нахождения+$$ 
 +\vec{N}=q\frac{[\vec{P}\times\vec{R}]}{R^3}, 
 +$$ 
 + 
 +</WRAP> 
 +где $\vec{R}$ --- радиус--вектор, проведенный из точки нахождения
 точечного заряда $q$ в точку, где находится диполь. точечного заряда $q$ в точку, где находится диполь.
 +
 +С другой стороны момент можно подсчитать и непосредственно, воспользовавшись формулой:
 +$$
 +\vec{N}=\sum \limits _{i}[\vec{r}_{i}\times\vec{F_{i}}],
 +$$
 +где $\vec{r}_{i}$ --- радиус векторы приложенных сил рассмотрим относительно некоторой точки на оси соединяющей заряды диполя --- $\vec r_1 = \vec b, \vec r_2 = \vec a+\vec b$, тогда: 
 +$$
 +\vec{N}=[\vec{b}\times\vec{F}_{-e}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{F}_{+e}]=\frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{R}+\vec{a})]=
 +$$
 +$$
 +\frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\approx
 +$$
 +$$
 +\frac{eq}{R^{3}}\left(-[\vec{b}\times\vec{R}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\right)=\frac{eq}{R^{3}}[\vec{a}\times\vec{R}]=\frac{q}{R^{3}}[\vec{P}\times\vec{R}].
 +$$