Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.31 [2019/09/13 10:55] – root
+++ electrodynamics:res1.31 [2020/09/19 18:29] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.31. Найти уравнение силовых линий точечного диполя с дипольным
+моментом $\vec{p}$, помещенного в начале координат. Нарисовать
+примерный вид силовых линий.
+-----
+Для силовых линий характерно, что в каждой точке малый участок $\vec {d\ell}$ проходят касательно к силовой линии $\vec E$. Это приводит к тому, что векторное произведение $[\vec d\ell \times \vec E]=0$ будет  нулевым. Это касается всех проекций. Тогда для $x$--овой компоненты $dy\cdot E_z - dz\cdot E_y=0$, следовательно
+\[
+\frac{{dy }}{{E_y }} = \frac{{dz }}{{E_z }}.
+\]
+Аналогично для остальных компонент.
 Выберем систему координат так, что диполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде
 \[
 \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }}
 \]
 Используя [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Криволинейная_система_координат#Коэффициенты_Ламе|коэффициенты Ламе]] для сферической системы координат
-\(h_r  = 1\), \(h_\theta   = r\), \(h_\phi   = r\sin \theta\)
+\(h_r  = 1\), \(h_\theta   = r\), \(h_\phi   = r\sin \theta\) и с учётом того, что зависимости от угла $\phi $ нет, запишем:
 \[
-\frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta  }}
+(1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta  }}
 \]
+В [[res1.27|задаче 1.27]] мы нашли поле диполя, распишем его компоненты:
 \[
-E_r  =  - \frac{p}{{r^3 }}\cos \theta  + \frac{{3p\cos \theta }}{{r^3 }} = 2\frac{p}{{r^3 }}\cos \theta
+E_r  = (\vec E\cdot \frac{\vec r}{r}) =
+- \frac{p}{{r^3 }}\cos \theta  + \frac{{3p\cos \theta }}{{r^3 }} = 2\frac{p}{{r^3 }}\cos \theta,
 \]
+где использовали $(\vec p\cdot \vec r) = pr\cos \theta .$
+Компонента $E_\theta $ связана только с первым слагаемым:
 \[
-E_\theta   = \frac{p}{{r^3 }}\sin \theta
+E_\theta   = \frac{p}{{r^3 }}\sin \theta ,
 \]
+для проекции $E_\theta$ мы выбрали знак "$-$", так как направление увеличения угла $\theta$ идёт против часовой стрелки и направлено в противоположную сторону от направления диполя $\vec p$.
+Подставим, теперь, вычисленные значения $E_r, E_\theta $ в (1)
 \[
 \frac{{r^3 dr}}{{2p\cos \theta }} = \frac{{r^4 d\theta }}{{p\sin \theta }}
 \]
+и произведём разделение переменных:
 \[
-\frac{{dr}}{r} = 2\frac{{d\theta \cos \theta }}{{\sin \theta }}
+\frac{{dr}}{r} = 2\frac{{d\theta \cos \theta }}{{\sin \theta }}.
 \]
+Равенство может выполняться, если они равны константе:
 \[
-\frac{{dr}}{r} = C_1  = 2\frac{{d\sin \theta }}{{\sin \theta }} = 2\ln \sin \theta
+\frac{{dr}}{r} = C_1  = 2\frac{{d\sin \theta }}{{\sin \theta }} = 2\ln \sin \theta,
 \]
+следовательно, после интегрирования
 \[
-\ln r = C_1  = \ln (\sin ^2 \theta)
+\ln r = C_1  = \ln (\sin ^2 \theta).
 \]
+Таким образом силовые линии описываются семейством кривых:
+<WRAP center round box 60%>
 \[
-\frac{r}{{\sin ^2 \theta }} = \text{const}
+\frac{r}{{\sin ^2 \theta }} = \text{const} .
 \]
+</WRAP>
 {{ :electrodynamics:выделение_050.jpg?direct&300 |Силовые линии диполя}}