electrodynamics:res1.33

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.33 [2019/09/13 16:56] – создано rootelectrodynamics:res1.33 [2020/09/19 18:29] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-$\varphi _\text{внутр}  = \frac{{4\pi }}{3}\sigma _0 r\cos \theta +1.33. 
-,$ $ \vec E_\text{внутр} =  - \frac{{4\pi }}{3}\sigma _0 +Сфера радиуса $a$ заряжена по поверхности по закону 
-\frac{{\vec z}}{{\left| z \right|}};$+$\sigma\!=\!\sigma _0\!\cos \theta$. Найти потенциал и 
 +электрическое поле во всем пространстве. 
 + 
 +----- 
 + 
 +Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$ 
 + 
 +Запишем уравнение в сферических координатах:  
 +$$\Delta\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\alpha^{2}}=0. 
 +$$ 
 + 
 +Так как зависимости от угла $\alpha $ нет, то третье слагаемое будет нулевым. Если поверхностный заряд зависит от угла $\theta$ по косинусу $\sigma=\sigma_{0}\cos\theta$, то искать зависимость потенциала от угла будем в виде  
 +$$ 
 +\varphi=R(r)\cos\theta. 
 +$$ 
 +Подставим потенциал в уравнение Лапласа: 
 +$$ 
 +\Delta\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\theta+\frac{R}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\cos\theta}{\partial\theta}\right)=0. 
 +$$ 
 +Продифференцировав получим  
 +$$ 
 +\Delta\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial R}{\partial r}\right)\cos\theta-\frac{2R\cos\theta}{r^{2}}=0. 
 +$$ 
 +Сокращая, придём к уравнению 
 +$$ 
 +\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial R}{\partial r}\right)=2R. 
 +$$ 
 +Решение данного уравнения будем искать в виде: $R=Ar^{n}$ и подставив его придём к алгебраическому уравнению 
 +$n(n+1)=2,$ которое имеет два решения: $n=\{1;-2\}$.  
 +Общее решение запишется в виде: 
 +$$ 
 +R(r)=A\cdot r+\frac{B}{r^{2}}. 
 +$$ 
 + 
 +Таким образом, предварительно, потенциал внутри сферы:  
 +$$ 
 +\varphi_{1}=(A_{1}\cdot r+\frac{B_{1}}{r^{2}})\cos\theta  
 +$$ 
 +и снаружи сферы  
 +$$ 
 +\varphi_{2}=(A_{2}\cdot r+\frac{B_{2}}{r^{2}})\cos\theta. 
 +$$ 
 + 
 +Из физических соображений потенциал внутри сферы при стремлении $r\to0 $ не должен расходиться, следовательно, $B_{1}=0,$ а снаружи сферы он не должен расходиться при $r\to\infty,$ т.к. сфера нейтральна, следовательно, $A_{2}=0. $ 
 + 
 +Из непрерывности потенциала на границе получим первое соотношение:  
 +$$ 
 +A_{1}\cdot a=\frac{B_{2}}{a^{2}}. 
 +$$ 
 +Из скачка поля на границе  
 +$$ 
 +E_{n2}-E_{n1}=\left.\frac{\partial\varphi_{1}}{\partial r}\right|_{r=a}-\left.\frac{\partial\varphi_{2}}{\partial r}\right|_{r=a}=4\pi\sigma, 
 +$$ 
 +получим второе соотношение:  
 +$$ 
 +(A_{1}+2\frac{B_{2}}{a^{3}})\cos\theta=4\pi\sigma_{0}\cos\theta. 
 +$$ 
 + 
 +Решая систему придём к  
 +$$ 
 +A_{1}=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}, B_{2}=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}a^{3}. 
 +$$ 
 +Окончательно запишем потенциал потенциал внутри сферы:  
 +<WRAP center round box 60%> 
 +$$ 
 +\varphi_{1}=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0} r\cos\theta=\frac{(\vec p \cdot \vec r)}{a^3} 
 +$$ 
 +</WRAP> 
 + 
 +и снаружи сферы  
 +<WRAP center round box 60%> 
 +$$ 
 +\varphi_{2}=\frac{4}{3}\frac{\pi\sigma_{0}a^{3}}{r^{2}}\cos\theta 
 += 
 +\frac{(\vec p \cdot \vec r)}{r^3}, 
 +$$ 
 +</WRAP> 
 + 
 +где ввели вектор дипольного момента $\vec p=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}a^{3} \vec n$, направленный от отрицательного к положительному заряду сферы. 
 + 
 +Поле найдём взяв градиент от потенциала: 
 +<WRAP center round box 60%> 
 +$$ 
 +\vec E_1=-\nabla \varphi _1 = -\frac{\vec p}{a^3}, 
 +$$ 
 + 
 +</WRAP> 
 +<WRAP center round box 60%> 
 +$$ 
 +\vec E_2=-\nabla \varphi _2 = -\frac{\vec p}{r^3}+\frac{3\vec r(\vec p \cdot \vec r)}{r^5}. 
 +$$ 
 +</WRAP>
  
-$ \varphi _\text{нар}  = \frac{{4\pi }}{3}\sigma _0 \frac{{R^3 
-}}{{r^2 }}\cos \theta$, $ \vec E_\text{нар}  =  - \frac{{\vec p 
-}}{{r^3 }} + \frac{{3\left( {\vec p \vec r} \right)\vec r}}{{r^5 
-}}$, где $\vec p  = \frac{{4\pi }}{3}\sigma _0 R^3 \vec e_z.$