electrodynamics:res1.33

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.33 [2019/09/14 07:36] – rootelectrodynamics:res1.33 [2020/09/19 18:29] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-${\varphi_{\text{внутр}}=\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}r\cos\theta},{\vec{E}_{\text{внутр}}=-\frac{{4\pi}}{3}\sigma_{0}\frac{{\vec{z}}}{{\left|z\right|}};}{\varphi_{\text{нар}}=\frac{{4\pi}}{3}\sigma_{0}\frac{{R^{3}}}{{r^{2}}}\cos\theta},{\vec{E}_{\text{нар}}=-\frac{{\vec{p}}}{{r^{3}}}+\frac{{3\left({\vec{p}\vec{r}}\right)\vec{r}}}{{r^{5}}}},\text{где}{\vec{p}=\frac{{4\pi}}{3}\sigma_{0}R^{3}\vec{e}_{z}.}$+1.33. 
 +Сфера радиуса $a$ заряжена по поверхности по закону 
 +$\sigma\!=\!\sigma _0\!\cos \theta$. Найти потенциал и 
 +электрическое поле во всем пространстве. 
 + 
 +-----
  
 Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$ Рассмотрим две области: внутри и снаружи сферы. Зарядов в этих областях нет, следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: $ \Delta\varphi=0.$
Строка 59: Строка 64:
 $$ $$
 Окончательно запишем потенциал потенциал внутри сферы:  Окончательно запишем потенциал потенциал внутри сферы: 
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
 \varphi_{1}=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0} r\cos\theta=\frac{(\vec p \cdot \vec r)}{a^3} \varphi_{1}=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0} r\cos\theta=\frac{(\vec p \cdot \vec r)}{a^3}
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 и снаружи сферы  и снаружи сферы 
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
 \varphi_{2}=\frac{4}{3}\frac{\pi\sigma_{0}a^{3}}{r^{2}}\cos\theta \varphi_{2}=\frac{4}{3}\frac{\pi\sigma_{0}a^{3}}{r^{2}}\cos\theta
Строка 68: Строка 77:
 \frac{(\vec p \cdot \vec r)}{r^3}, \frac{(\vec p \cdot \vec r)}{r^3},
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 где ввели вектор дипольного момента $\vec p=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}a^{3} \vec n$, направленный от отрицательного к положительному заряду сферы. где ввели вектор дипольного момента $\vec p=\frac{4}{3}\pi\sigma_{0}a^{3} \vec n$, направленный от отрицательного к положительному заряду сферы.
 +
 +Поле найдём взяв градиент от потенциала:
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\vec E_1=-\nabla \varphi _1 = -\frac{\vec p}{a^3},
 +$$
 +
 +</WRAP>
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\vec E_2=-\nabla \varphi _2 = -\frac{\vec p}{r^3}+\frac{3\vec r(\vec p \cdot \vec r)}{r^5}.
 +$$
 +</WRAP>
 +