electrodynamics:res1.43

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.43 [2019/09/16 12:20] – rootelectrodynamics:res1.43 [2020/09/24 13:50] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-Выберем систему координат так, что диполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде+1.43. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя и нарисовать примерную картину силовых линий. 
 + 
 +----- 
 + 
 +Выберем систему координат так, что линейный квадруполь располагается вдоль оси \(z\) сферической системы координат. Уравнение силовых линий поля \(\vec E\) в произвольной ортогональной системе координат записывается в виде
 \[ \[
 \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }} \frac{{h_1 dq_1 }}{{E_1 }} = \frac{{h_2 dq_2 }}{{E_2 }} = \frac{{h_3 dq_3 }}{{E_3 }}
Строка 8: Строка 12:
 (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta  }} (1) \hspace{10pt} \frac{{dr}}{{E_r }} = \frac{{rd\theta }}{{E_\theta  }}
 \] \]
-В [[res1.42|задаче 1.42]] мы нашли поле диполя, распишем его компоненты:  +В [[res1.42|задаче 1.42]] мы нашли потенциал линейного квадруполя: 
- +$$ 
-$\frac{dr}{E_{r}}=\frac{rd\theta}{E_{\theta}}$ +\varphi=\frac{qa^{2}}{r^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right), 
- +$$ 
-$\varphi=\frac{qa^{2}}{r^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)$ +найдём, теперь, компоненты электрического поля:  
- +$$ 
-$E_{r}=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}=3\frac{qa^{2}}{r^{4}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)$ +E_{r}=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}=3\frac{qa^{2}}{r^{4}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right), 
- +$$ 
-$E_{\theta}=-\frac{\partial\varphi}{r\partial\theta}=6\frac{qa^{2}}{r^{4}}\sin\theta\cos\theta$ +$$ 
- +E_{\theta}=-\frac{\partial\varphi}{r\partial\theta}=6\frac{qa^{2}}{r^{4}}\sin\theta\cos\theta. 
-$2\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}$ +$$ 
- +Подставив найденные компоненты в уравнение (1) придём к уравнению: 
-$\int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1}$ +$$ 
- +2\frac{dr}{r}=\frac{(3\cos^{2}\theta-1)d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}-\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}. 
-$\int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}$ +$$ 
- +Проинтегрируем: 
-$3\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C'_{1}$+$$ 
 +\int\frac{3\cos\theta d\theta}{\sin\theta}=\int\frac{3d\sin\theta}{\sin\theta}=3\ln|\sin\theta|+C_{1}, 
 +$$ 
 +$$ 
 +\int\frac{d\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\int\frac{\cos\theta d\theta}{\sin\theta\cos^{2}\theta}=\int\frac{d\text{tg}\theta}{\text{tg}\theta}=\ln|\text{tg}\theta|+C_{2}. 
 +$$ 
 +Таким образом интеграл от правой части: 
 +$$ 
 +3\ln|\sin\theta|+C_{1}-\ln|\text{tg}\theta|-C_{2}=\ln\left(\sin^{2}\theta|\cos\theta|\right)+C'_{1}, 
 +$$ 
 +где мы переопределили константу.
  
-$2\frac{dr}{r}=2\ln r+C_{3}$+Интеграл от левой части: 
 +$$ 
 +\int2\frac{dr}{r}=2\ln r+C_{3} 
 +. 
 +$$ 
 +Приравнивая и потенцируя, придём к уравнению  
 +<WRAP center round box 60%> 
 +$$ 
 +r=C\sqrt{\sin^{2}\theta|\cos\theta|}, 
 +$$
  
-$r=C\sqrt{\sin^{2}\theta|\cos\theta|}$+</WRAP> 
 +описывающему силовые линии.