electrodynamics:res1.47

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.47 [2019/09/06 13:20] – [а)] rootelectrodynamics:res1.47 [2019/12/24 16:58] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.47. Используя уравнение Пуассона, симметрию задачи, конечность и
 +непрерывность потенциала и его производной, найти потенциал:
 +
 +а) шара радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с объемной
 +плотностью $\rho$;
 +
 +б) цилиндра радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с
 +линейной плотностью $\eta$;
 +
 +в) слоя толщиной $2a$, равномерно заряженного с объемной
 +плотностью $\rho$.
 +
 +-----
 +
 ==== а) ==== ==== а) ====
 Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнениям Пуассона Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнениям Пуассона
Строка 18: Строка 32:
 $$ $$
 \varphi_1=-\frac{2}{3}\pi\rho R^2-\frac{A_1}{R}+B_1, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,\\ \varphi_1=-\frac{2}{3}\pi\rho R^2-\frac{A_1}{R}+B_1, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,\\
-\varphi_2=-\frac{2}{3}\pi\rho R^2-\frac{A_1}{R}+B_1, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a,+\varphi_2=-\frac{A_2}{R}+B_2, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a,
 $$ $$
 где $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$ --- константы интегрирования. Второе слагаемое в выражении для $\varphi_1$ содержит член $\sim 1/R$. Значит, напряженность электрического  поля  будет  содержать член  $\sim 1/R^2$,  который  при $R\to 0$ стремится к бесконечности. где $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$ --- константы интегрирования. Второе слагаемое в выражении для $\varphi_1$ содержит член $\sim 1/R$. Значит, напряженность электрического  поля  будет  содержать член  $\sim 1/R^2$,  который  при $R\to 0$ стремится к бесконечности.
Строка 26: Строка 40:
 нигде не может быть бесконечной. Для удовлетворения этого нигде не может быть бесконечной. Для удовлетворения этого
 условия необходимо, чтобы $A_1=0$. Выбирая потенциал равным условия необходимо, чтобы $A_1=0$. Выбирая потенциал равным
-нулю на бесконечности, положим  $B_2=0$. Из уравнения+нулю на бесконечности, положим  $B_2=0$.  
 + 
 +/* Из уравнения
 $\text{rot}\vec{E}=0\;$ следует условие непрерывности касательных $\text{rot}\vec{E}=0\;$ следует условие непрерывности касательных
 составляющих напряженности электрического поля на поверхности составляющих напряженности электрического поля на поверхности
 шара: шара:
 $E_{1\tau}\big|_{R=a}=E_{2\tau}\big|_{R=a}$. Этому  условию можно $E_{1\tau}\big|_{R=a}=E_{2\tau}\big|_{R=a}$. Этому  условию можно
-удовлетворить, если $\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$.+удовлетворить, если $\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$. 
  
 Из уравнения $\text{div}\vec{E}=4\pi\rho\;$  следует, что Из уравнения $\text{div}\vec{E}=4\pi\rho\;$  следует, что
Строка 39: Строка 55:
 Поскольку в задаче поверхностная плотность зарядов равна Поскольку в задаче поверхностная плотность зарядов равна
 нулю,  то  нормальная  составляющая   вектора $\vec{E}$ на нулю,  то  нормальная  составляющая   вектора $\vec{E}$ на
-поверхности  шара непрерывна. Поэтому+поверхности  шара непрерывна. */ 
 + 
 +Из непрерывности потенциала на границе $\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$ следует:
 $$-\frac{2}{3}\pi\rho a^2+B_1=\frac{A_2}{a},$$ $$-\frac{2}{3}\pi\rho a^2+B_1=\frac{A_2}{a},$$
-$$-\frac{4}{3}\pi\rho a=\frac{A_2}{a},$$+а из отсутствия поверхностных зарядов на границе следует, что $E_{1n}\big|_{R=a}=E_{2n}\big|_{R=a},$ тогда: 
 +$$-\frac{4}{3}\pi\rho a=\frac{A_2}{a^2},$$
 откуда откуда
 $$A_2=-\frac{4}{3}\pi\rho a^3\;,\;\;B_1=2\pi\rho a^2.$$ $$A_2=-\frac{4}{3}\pi\rho a^3\;,\;\;B_1=2\pi\rho a^2.$$
  
 Окончательно  распределение потенциала выразится так: Окончательно  распределение потенциала выразится так:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
-\varphi_1=-\frac{2}{3}\pi\rho (3a^2-R^2), \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,+\varphi_1=\frac{2}{3}\pi\rho (3a^2-R^2), \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,
 $$ $$
 $$ $$
-\varphi_2= -\frac{4\pi a^3\rho}{3R}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a.+\varphi_2=\frac{4\pi a^3\rho}{3R}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 ==== б) ==== ==== б) ====
 Уравнения Пуассона и Лапласа в цилиндрической системе Уравнения Пуассона и Лапласа в цилиндрической системе
-  координат с осью $Z$  вдоль оси цилиндра будут иметь вид: +координат с осью $Z$  вдоль оси цилиндра будут иметь вид: 
- \[ +$$ 
-  \begin{array}{rll} +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\frac{\partial\varphi_1} 
-  \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\frac{\partial\varphi_1} +{\partial r}\Bigr)=-4\pi\rho, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\leq a, 
- {\partial r}\Bigr)=& -4\pi\rho&\mbox{при} \qquad r\leq a,\\ +$$ 
-   \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\frac{\partial\varphi_2} +$$ 
- {\partial r}\Bigr)=&0&\mbox{при} \qquad r>a, +\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\frac{\partial\varphi_2} 
-  \end{array} +{\partial r}\Bigr)=0, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r>a, 
-  \] +$$ 
-  поскольку  из  симметрии  задачи  потенциал может  зависеть +поскольку  из  симметрии  задачи  потенциал может  зависеть 
- только  от  расстояния  до точки  наблюдения. Интегрируя  эти +только  от  расстояния  до точки  наблюдения. Интегрируя  эти 
- уравнения, получаем:+уравнения, получаем:
 $$\varphi_1=-\pi\rho r^2+A_1\ln r+B_1,$$ $$\varphi_1=-\pi\rho r^2+A_1\ln r+B_1,$$
 $$\varphi_2=A_2\ln r+B_2.$$ $$\varphi_2=A_2\ln r+B_2.$$
-  Чтобы потенциал был конечным при $r=0$, нужно положить+ 
 +Чтобы потенциал был конечным при $r=0$, нужно положить
 {$A_1=0$}, иначе напряженность электрического поля на оси {$A_1=0$}, иначе напряженность электрического поля на оси
- цилиндра будет бесконечной. Удобно выбрать потенциал равным +цилиндра будет бесконечной. Удобно выбрать потенциал равным 
-  нулю на оси цилиндра, тогда $B_1=0$. Из условия +нулю на оси цилиндра, тогда $B_1=0$. Из условия 
- непрерывности потенциала и его производной при $r=a$ находим+непрерывности потенциала и его производной при $r=a$ находим
 $$A_2=-2\pi\rho a^2,$$ $$A_2=-2\pi\rho a^2,$$
 $$B_2=2\pi\rho a^2\ln a-\pi\rho a^2.$$ $$B_2=2\pi\rho a^2\ln a-\pi\rho a^2.$$
-  Выражая объемную плотность заряда $\rho$ через заряд, + 
- приходящийся на единицу длины цилиндра $\rho=\eta/\pi a^2$, + 
- окончательно получаем: + 
- \[ +Выражая объемную плотность заряда $\rho$ через заряд, 
- \begin{array}{rll} +приходящийся на единицу длины цилиндра $\rho=\eta/\pi a^2$, 
- \varphi_1=&-\pi\rho r^2=-\frac{\eta r^2}{a^2}&\mbox{при} \qquad r\leq a,\\ +окончательно получаем: 
-   \varphi_2=&2\eta\ln\frac{a}{r}-\eta&\mbox{при} \qquad r\geq a. +<WRAP center round box 60%> 
- \end{array} +$$ 
- \]+\varphi_1=-\pi\rho r^2=-\frac{\eta r^2}{a^2}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\leq a, 
 +$$ 
 +$$ 
 +\varphi_2=2\eta\ln\frac{a}{r}-\eta, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\geq a. 
 +$$ 
 +</WRAP>
  
 ==== в) ==== ==== в) ====
-Декартову  систему координат выберем таким образом, +Декартову  систему координат выберем таким образом, чтобы
- чтобы +
-\begin{wrapfigure}[5]{l}{3.5cm} +
-\vspace{-10pt} +
-\includegraphics[width=2.5cm]{ris17.eps} +
-\end{wrapfigure}+
 оси $X$  и $Y$ лежали в средней плоскости оси $X$  и $Y$ лежали в средней плоскости
- пластины. Потенциал может зависеть только от координаты +пластины.  
- $z$, поскольку все точки плоскости +{{ :electrodynamics:выделение_035.jpg?direct&200 |}} 
- $z=\const$ равноправны. Уравнения Пуассона +Потенциал может зависеть только от координаты 
- и Лапласа для различных областей принимают +$z$, поскольку все точки плоскости 
- вид +$z=\text{const}$ равноправны. Уравнения Пуассона 
- \[ +и Лапласа для различных областей принимают 
-\begin{array}{rlll} +вид 
-  \frac{d^2\varphi_1(z)}{dz^2}=&0& +$$ 
- \mbox{при} & z\leq a,\\ +\frac{d^2\varphi_1(z)}{dz^2}=0, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z\leq a, 
-\frac{d^2\varphi_2(z)}{dz^2}=&-4\pi\rho& +$$ 
- \mbox{при} &-a<z< a,\\ +$$ 
-\frac{d^2\varphi_3(z)}{dz^2}=&0 & +\frac{d^2\varphi_2(z)}{dz^2}=-4\pi\rho, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt}-a<z< a, 
- \mbox{при} &  z> a. +$$ 
-\end{array} +$$ 
-\] +\frac{d^2\varphi_3(z)}{dz^2}=0, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z> a. 
- Решения этих уравнений запишутся следующим образом: +$$ 
-\[ +Решения этих уравнений запишутся следующим образом: 
-\begin{array}{rl} +$$ 
- \varphi_1=&A_z+B_1,\\ +\varphi_1=A_z+B_1, 
-  \varphi_2=&-2\pi\rho z^2+A_2z+B_2,\\ +$$ 
-  \varphi_3=&A_3+B_3. +$$ 
-\end{array} +\varphi_2=-2\pi\rho z^2+A_2z+B_2, 
-\]+$$ 
 +$$ 
 +\varphi_3=A_3+B_3. 
 +$$
  
- Выберем  потенциал так, чтобы он равнялся нулю при $z=0$, +Выберем  потенциал так, чтобы он равнялся нулю при $z=0$, 
- тогда $B_2=0$. Напряженность электрического поля -- векторная +тогда $B_2=0$. Напряженность электрического поля --- векторная 
- величина, и, в силу симметрии системы зарядов относительно +величина, и, в силу симметрии системы зарядов относительно 
- средней плоскости, напряженность в этой плоскости равна нулю, +средней плоскости, напряженность в этой плоскости равна нулю, 
- поскольку направления в сторону положительных и отрицательных +поскольку направления в сторону положительных и отрицательных 
- $z$     равноправны. Это означает, что+$z$ равноправны. Это означает, что
 $$\frac{d\varphi_2}{dz}\bigg |_{z=0}=0,$$ $$\frac{d\varphi_2}{dz}\bigg |_{z=0}=0,$$
- откуда $A_2=0$. Далее, так же как в приведенных выше задачах, +откуда $A_2=0$. Далее, так же как в приведенных выше задачах, 
- воспользуемся непрерывностью потенциала и его производной +воспользуемся непрерывностью потенциала и его производной 
- при $z~=~\pm~a$. Это дает: +при $z~=~\pm~a$. Это дает: 
-\[ +$$ 
- \begin{array}{rll} +A_1=4\pi\rho a, B_1=2\pi\rho a^2, 
-  A_1=&4\pi\rho a,&B_1=2\pi\rho a^2,\\ +$$ 
-  A_3=&-4\pi\rho a,&B_3=2\pi\rho a^2. +$$ 
- \end{array} +A_3=-4\pi\rho a, B_3=2\pi\rho a^2. 
-\] +$$ 
- Подставляя константы интегрирования в решение, получаем + 
- \[ +Подставляя константы интегрирования в решение, получаем 
- \begin{array}{rll} +$$ 
- \varphi_1=&2\pi\rho a^2\Bigl(1+\frac{2z}{a}\Bigr)&\mbox{при}\qquad z\leq -a,\\ +\varphi_1=2\pi\rho a^2\Bigl(1+\frac{2z}{a}\Bigr), \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z\leq -a,\\ 
- \varphi_2=&2\pi\rho z^2&\mbox{при}\qquad -a\leq z\leq a,\\ +\varphi_2=2\pi\rho z^2, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} -a\leq z\leq a,\\ 
- \varphi_3=&2\pi\rho a^2\Bigl(1-\frac{2z}{a}\Bigr)&\mbox{при}\qquad z\geq a, +\varphi_3=2\pi\rho a^2\Bigl(1-\frac{2z}{a}\Bigr), \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z\geq a, 
- \end{array} +$$ 
- \] +что можно записать короче следующим образом: 
- что можно записать короче следующим   образом:+<WRAP center round box 60%>
 $$\varphi(z)=\left\{ $$\varphi(z)=\left\{
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
Строка 148: Строка 174:
 \frac{2|z|}{a}\biggr) & \;\mbox{при}\;\; |z|\geq a. \frac{2|z|}{a}\biggr) & \;\mbox{при}\;\; |z|\geq a.
 \end{array} \right.$$ \end{array} \right.$$
 +</WRAP>
 +