electrodynamics:res1.47

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.47 [2019/09/06 13:31] – [в)] rootelectrodynamics:res1.47 [2019/12/24 16:58] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.47. Используя уравнение Пуассона, симметрию задачи, конечность и
 +непрерывность потенциала и его производной, найти потенциал:
 +
 +а) шара радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с объемной
 +плотностью $\rho$;
 +
 +б) цилиндра радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с
 +линейной плотностью $\eta$;
 +
 +в) слоя толщиной $2a$, равномерно заряженного с объемной
 +плотностью $\rho$.
 +
 +-----
 +
 ==== а) ==== ==== а) ====
 Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнениям Пуассона Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнениям Пуассона
Строка 18: Строка 32:
 $$ $$
 \varphi_1=-\frac{2}{3}\pi\rho R^2-\frac{A_1}{R}+B_1, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,\\ \varphi_1=-\frac{2}{3}\pi\rho R^2-\frac{A_1}{R}+B_1, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,\\
-\varphi_2=-\frac{2}{3}\pi\rho R^2-\frac{A_1}{R}+B_1, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a,+\varphi_2=-\frac{A_2}{R}+B_2, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a,
 $$ $$
 где $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$ --- константы интегрирования. Второе слагаемое в выражении для $\varphi_1$ содержит член $\sim 1/R$. Значит, напряженность электрического  поля  будет  содержать член  $\sim 1/R^2$,  который  при $R\to 0$ стремится к бесконечности. где $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$ --- константы интегрирования. Второе слагаемое в выражении для $\varphi_1$ содержит член $\sim 1/R$. Значит, напряженность электрического  поля  будет  содержать член  $\sim 1/R^2$,  который  при $R\to 0$ стремится к бесконечности.
Строка 26: Строка 40:
 нигде не может быть бесконечной. Для удовлетворения этого нигде не может быть бесконечной. Для удовлетворения этого
 условия необходимо, чтобы $A_1=0$. Выбирая потенциал равным условия необходимо, чтобы $A_1=0$. Выбирая потенциал равным
-нулю на бесконечности, положим  $B_2=0$. Из уравнения+нулю на бесконечности, положим  $B_2=0$.  
 + 
 +/* Из уравнения
 $\text{rot}\vec{E}=0\;$ следует условие непрерывности касательных $\text{rot}\vec{E}=0\;$ следует условие непрерывности касательных
 составляющих напряженности электрического поля на поверхности составляющих напряженности электрического поля на поверхности
 шара: шара:
 $E_{1\tau}\big|_{R=a}=E_{2\tau}\big|_{R=a}$. Этому  условию можно $E_{1\tau}\big|_{R=a}=E_{2\tau}\big|_{R=a}$. Этому  условию можно
-удовлетворить, если $\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$.+удовлетворить, если $\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$. 
  
 Из уравнения $\text{div}\vec{E}=4\pi\rho\;$  следует, что Из уравнения $\text{div}\vec{E}=4\pi\rho\;$  следует, что
Строка 39: Строка 55:
 Поскольку в задаче поверхностная плотность зарядов равна Поскольку в задаче поверхностная плотность зарядов равна
 нулю,  то  нормальная  составляющая   вектора $\vec{E}$ на нулю,  то  нормальная  составляющая   вектора $\vec{E}$ на
-поверхности  шара непрерывна. Поэтому+поверхности  шара непрерывна. */ 
 + 
 +Из непрерывности потенциала на границе $\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$ следует:
 $$-\frac{2}{3}\pi\rho a^2+B_1=\frac{A_2}{a},$$ $$-\frac{2}{3}\pi\rho a^2+B_1=\frac{A_2}{a},$$
-$$-\frac{4}{3}\pi\rho a=\frac{A_2}{a},$$+а из отсутствия поверхностных зарядов на границе следует, что $E_{1n}\big|_{R=a}=E_{2n}\big|_{R=a},$ тогда: 
 +$$-\frac{4}{3}\pi\rho a=\frac{A_2}{a^2},$$
 откуда откуда
 $$A_2=-\frac{4}{3}\pi\rho a^3\;,\;\;B_1=2\pi\rho a^2.$$ $$A_2=-\frac{4}{3}\pi\rho a^3\;,\;\;B_1=2\pi\rho a^2.$$
  
 Окончательно  распределение потенциала выразится так: Окончательно  распределение потенциала выразится так:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
-\varphi_1=-\frac{2}{3}\pi\rho (3a^2-R^2), \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,+\varphi_1=\frac{2}{3}\pi\rho (3a^2-R^2), \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,
 $$ $$
 $$ $$
-\varphi_2= -\frac{4\pi a^3\rho}{3R}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a.+\varphi_2=\frac{4\pi a^3\rho}{3R}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 ==== б) ==== ==== б) ====
 Уравнения Пуассона и Лапласа в цилиндрической системе Уравнения Пуассона и Лапласа в цилиндрической системе
Строка 76: Строка 98:
 $$A_2=-2\pi\rho a^2,$$ $$A_2=-2\pi\rho a^2,$$
 $$B_2=2\pi\rho a^2\ln a-\pi\rho a^2.$$ $$B_2=2\pi\rho a^2\ln a-\pi\rho a^2.$$
 +
 +
  
 Выражая объемную плотность заряда $\rho$ через заряд, Выражая объемную плотность заряда $\rho$ через заряд,
 приходящийся на единицу длины цилиндра $\rho=\eta/\pi a^2$, приходящийся на единицу длины цилиндра $\rho=\eta/\pi a^2$,
 окончательно получаем: окончательно получаем:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
 \varphi_1=-\pi\rho r^2=-\frac{\eta r^2}{a^2}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\leq a, \varphi_1=-\pi\rho r^2=-\frac{\eta r^2}{a^2}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\leq a,
Строка 86: Строка 111:
 \varphi_2=2\eta\ln\frac{a}{r}-\eta, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\geq a. \varphi_2=2\eta\ln\frac{a}{r}-\eta, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\geq a.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 ==== в) ==== ==== в) ====
 Декартову  систему координат выберем таким образом, чтобы Декартову  систему координат выберем таким образом, чтобы
Строка 140: Строка 167:
 $$ $$
 что можно записать короче следующим образом: что можно записать короче следующим образом:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$\varphi(z)=\left\{ $$\varphi(z)=\left\{
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
Строка 146: Строка 174:
 \frac{2|z|}{a}\biggr) & \;\mbox{при}\;\; |z|\geq a. \frac{2|z|}{a}\biggr) & \;\mbox{при}\;\; |z|\geq a.
 \end{array} \right.$$ \end{array} \right.$$
 +</WRAP>
 +