electrodynamics:res1.47

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.47 [2019/09/11 14:45] – rootelectrodynamics:res1.47 [2019/12/24 16:58] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.47. Используя уравнение Пуассона, симметрию задачи, конечность и
 +непрерывность потенциала и его производной, найти потенциал:
 +
 +а) шара радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с объемной
 +плотностью $\rho$;
 +
 +б) цилиндра радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с
 +линейной плотностью $\eta$;
 +
 +в) слоя толщиной $2a$, равномерно заряженного с объемной
 +плотностью $\rho$.
 +
 +-----
 +
 ==== а) ==== ==== а) ====
 Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнениям Пуассона Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнениям Пуассона
Строка 46: Строка 60:
 $$-\frac{2}{3}\pi\rho a^2+B_1=\frac{A_2}{a},$$ $$-\frac{2}{3}\pi\rho a^2+B_1=\frac{A_2}{a},$$
 а из отсутствия поверхностных зарядов на границе следует, что $E_{1n}\big|_{R=a}=E_{2n}\big|_{R=a},$ тогда: а из отсутствия поверхностных зарядов на границе следует, что $E_{1n}\big|_{R=a}=E_{2n}\big|_{R=a},$ тогда:
-$$-\frac{4}{3}\pi\rho a=\frac{A_2}{a},$$+$$-\frac{4}{3}\pi\rho a=\frac{A_2}{a^2},$$
 откуда откуда
 $$A_2=-\frac{4}{3}\pi\rho a^3\;,\;\;B_1=2\pi\rho a^2.$$ $$A_2=-\frac{4}{3}\pi\rho a^3\;,\;\;B_1=2\pi\rho a^2.$$
  
 Окончательно  распределение потенциала выразится так: Окончательно  распределение потенциала выразится так:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
-\varphi_1=-\frac{2}{3}\pi\rho (3a^2-R^2), \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,+\varphi_1=\frac{2}{3}\pi\rho (3a^2-R^2), \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R\leq a,
 $$ $$
 $$ $$
-\varphi_2= -\frac{4\pi a^3\rho}{3R}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a.+\varphi_2=\frac{4\pi a^3\rho}{3R}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} R> a.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 ==== б) ==== ==== б) ====
 Уравнения Пуассона и Лапласа в цилиндрической системе Уравнения Пуассона и Лапласа в цилиндрической системе
Строка 81: Строка 98:
 $$A_2=-2\pi\rho a^2,$$ $$A_2=-2\pi\rho a^2,$$
 $$B_2=2\pi\rho a^2\ln a-\pi\rho a^2.$$ $$B_2=2\pi\rho a^2\ln a-\pi\rho a^2.$$
 +
 +
  
 Выражая объемную плотность заряда $\rho$ через заряд, Выражая объемную плотность заряда $\rho$ через заряд,
 приходящийся на единицу длины цилиндра $\rho=\eta/\pi a^2$, приходящийся на единицу длины цилиндра $\rho=\eta/\pi a^2$,
 окончательно получаем: окончательно получаем:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
 \varphi_1=-\pi\rho r^2=-\frac{\eta r^2}{a^2}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\leq a, \varphi_1=-\pi\rho r^2=-\frac{\eta r^2}{a^2}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\leq a,
Строка 91: Строка 111:
 \varphi_2=2\eta\ln\frac{a}{r}-\eta, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\geq a. \varphi_2=2\eta\ln\frac{a}{r}-\eta, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\geq a.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 ==== в) ==== ==== в) ====
 Декартову  систему координат выберем таким образом, чтобы Декартову  систему координат выберем таким образом, чтобы
Строка 145: Строка 167:
 $$ $$
 что можно записать короче следующим образом: что можно записать короче следующим образом:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$\varphi(z)=\left\{ $$\varphi(z)=\left\{
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
Строка 151: Строка 174:
 \frac{2|z|}{a}\biggr) & \;\mbox{при}\;\; |z|\geq a. \frac{2|z|}{a}\biggr) & \;\mbox{при}\;\; |z|\geq a.
 \end{array} \right.$$ \end{array} \right.$$
 +</WRAP>
 +