electrodynamics:res1.47

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.47 [2019/09/11 15:07] – [б)] rootelectrodynamics:res1.47 [2019/12/24 16:58] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.47. Используя уравнение Пуассона, симметрию задачи, конечность и
 +непрерывность потенциала и его производной, найти потенциал:
 +
 +а) шара радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с объемной
 +плотностью $\rho$;
 +
 +б) цилиндра радиуса $a$, равномерно заряженного по объему с
 +линейной плотностью $\eta$;
 +
 +в) слоя толщиной $2a$, равномерно заряженного с объемной
 +плотностью $\rho$.
 +
 +-----
 +
 ==== а) ==== ==== а) ====
 Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнениям Пуассона Потенциал $\varphi $ удовлетворяет уравнениям Пуассона
Строка 82: Строка 96:
 нулю на оси цилиндра, тогда $B_1=0$. Из условия нулю на оси цилиндра, тогда $B_1=0$. Из условия
 непрерывности потенциала и его производной при $r=a$ находим непрерывности потенциала и его производной при $r=a$ находим
-<WRAP center round box 60%> 
 $$A_2=-2\pi\rho a^2,$$ $$A_2=-2\pi\rho a^2,$$
 $$B_2=2\pi\rho a^2\ln a-\pi\rho a^2.$$ $$B_2=2\pi\rho a^2\ln a-\pi\rho a^2.$$
-</WRAP>+
  
  
Строка 91: Строка 104:
 приходящийся на единицу длины цилиндра $\rho=\eta/\pi a^2$, приходящийся на единицу длины цилиндра $\rho=\eta/\pi a^2$,
 окончательно получаем: окончательно получаем:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$ $$
 \varphi_1=-\pi\rho r^2=-\frac{\eta r^2}{a^2}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\leq a, \varphi_1=-\pi\rho r^2=-\frac{\eta r^2}{a^2}, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\leq a,
Строка 97: Строка 111:
 \varphi_2=2\eta\ln\frac{a}{r}-\eta, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\geq a. \varphi_2=2\eta\ln\frac{a}{r}-\eta, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} r\geq a.
 $$ $$
 +</WRAP>
 +
 ==== в) ==== ==== в) ====
 Декартову  систему координат выберем таким образом, чтобы Декартову  систему координат выберем таким образом, чтобы
Строка 151: Строка 167:
 $$ $$
 что можно записать короче следующим образом: что можно записать короче следующим образом:
 +<WRAP center round box 60%>
 $$\varphi(z)=\left\{ $$\varphi(z)=\left\{
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
Строка 157: Строка 174:
 \frac{2|z|}{a}\biggr) & \;\mbox{при}\;\; |z|\geq a. \frac{2|z|}{a}\biggr) & \;\mbox{при}\;\; |z|\geq a.
 \end{array} \right.$$ \end{array} \right.$$
 +</WRAP>
 +