Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res1.48 [2019/09/06 13:32] – создано root
+++ electrodynamics:res1.48 [2019/12/24 16:59] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.48. Найти поле между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов $r_1$ и
+$r_2$, разность потенциалов между которыми равна $U$.
+-----
+Так как между обкладками отсутствует заряд, то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:
 \[
-\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{\partial \psi }}{{\partial r}}} \right) = 0
+\frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}} \right) = 0.
 \]
+Проинтегрируем его один раз:
 \[
-r\frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} = A
+r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = A,
 \]
+тогда:
 \[
-\frac{{\partial \psi }}{{\partial r}} = \frac{A}{r}
+\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = \frac{A}{r}.
 \]
+Проинтегрируем его второй раз:
 \[
-\psi  = A\ln r + B
+\varphi  = A\ln r + B
 \]
+Константу $A$ можно узнать из имеющейся разности потенциалов между обкладками:
 \[
-\psi _2  - \psi _1  = A\ln r_2  - A\ln r_1  = U
+\varphi _2  - \varphi _1  = A\ln r_2  - A\ln r_1  = U,
 \]
+следовательно:
 \[
-A = \frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}
+A = \frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}.
 \]
+Тогда потенциал:
 \[
-\psi  =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}\ln r + B
+\varphi  =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}\ln r + B,
 \]
+а поле найдём взяв градиент потенциала:
+<WRAP center round box 60%>
 \[
-E_r  = -\frac{\partial \psi }{\partial r} = - \frac{1}{r}\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}
+E_r  = -\frac{\partial \varphi }{\partial r} = - \frac{1}{r}\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}.
 \]
+</WRAP>
+Или в векторном виде:
+<WRAP center round box 60%>
 \[
 \vec E =-\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}} \frac{\vec r}{r^2}.
 \]
+</WRAP>