electrodynamics:res1.48

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res1.48 [2019/09/11 15:34] – rootelectrodynamics:res1.48 [2019/12/24 16:59] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +1.48. Найти поле между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов $r_1$ и
 +$r_2$, разность потенциалов между которыми равна $U$.
 +
 +-----
 +
 Так как между обкладками отсутствует заряд, то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: Так как между обкладками отсутствует заряд, то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:
 \[ \[
Строка 9: Строка 14:
 тогда: тогда:
 \[ \[
-\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = \frac{A}{r} +\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = \frac{A}{r}. 
-\].+\]
 Проинтегрируем его второй раз: Проинтегрируем его второй раз:
 \[ \[
 \varphi  = A\ln r + B \varphi  = A\ln r + B
 \] \]
 +
 +Константу $A$ можно узнать из имеющейся разности потенциалов между обкладками:
 \[ \[
-\varphi _2  - \psi _1  = A\ln r_2  - A\ln r_1  = U+\varphi _2  - \varphi _1  = A\ln r_2  - A\ln r_1  = U,
 \] \]
 +следовательно:
 \[ \[
-A = \frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}+A = \frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}.
 \] \]
 +Тогда потенциал:
 \[ \[
-\varphi  =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}\ln r + B+\varphi  =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}\ln r + B,
 \] \]
 +а поле найдём взяв градиент потенциала:
 +<WRAP center round box 60%>
 \[ \[
-E_r  = -\frac{\partial \varphi }{\partial r} = - \frac{1}{r}\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}+E_r  = -\frac{\partial \varphi }{\partial r} = - \frac{1}{r}\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}.
 \] \]
 +</WRAP>
 +
 +Или в векторном виде:
 +<WRAP center round box 60%>
 \[ \[
 \vec E =-\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}} \frac{\vec r}{r^2}. \vec E =-\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}} \frac{\vec r}{r^2}.
 \] \]
 +</WRAP>
 +