Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res182 [2019/10/01 13:36] – создано root
+++ electrodynamics:res182 [2020/10/06 11:56] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+. Ёмкости двух уединённых проводников равны $C_1$ и $C_2$. Эти проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon $ вакууме на расстоянии $r,$ большом по сравнению с их собственными размерами.
+Показать, что ёмкостные коэффициенты системы равны:
+$$
+c_{11}=C_1\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr), \hspace{10pt}
+c_{12}=-\frac{C_1C_2}{r}, \hspace{10pt}
+c_{22}=C_2\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr).
+$$
+УКАЗАНИЕ. Определить сначала [[t08|потенциальные коэффициенты]] с точностью
+до величины $\frac 1r.$
+-----
 Так как расстояния r между проводниками много больше их размеров, то можно рассматривать их как точечные, тогда потенциал первого шара:
 $$
@@ Строка 5: / Строка 19: @@
 второго
 $$
-\varphi_{2}=\frac{q_{1}}{r}+\frac{q_{2}}{C_{2}}
+\varphi_{2}=\frac{q_{1}}{r}+\frac{q_{2}}{C_{2}}.
 $$
 Таким образом матрица потенциальных коэффициентов:
@@ Строка 12: / Строка 26: @@
 C_{1}^{-1} & r^{-1}\\
 r^{-1} & C_{2}^{-1}
-\end{array}\right)
+\end{array}\right) .
 $$
 Ёмкостная матрица будет ей обратная
@@ Строка 22: / Строка 36: @@
 C_{2}^{-1} & -r^{-1}\\
 -r^{-1} & C_{1}^{-1}
-\end{array}\right)
+\end{array}\right),
+$$
+тогда с учётом малости $\frac 1r$:
+$$
+\frac{1}{C_{1}^{-1}C_{2}^{-1}-r^{-2}}=\frac{C_{1}C_{2}}{1-\frac{C_{1}C_{2}}{r^2}}\approx
+C_{1}C_{2}\left(1+\frac{C_{1}C_{2}}{r^2}\right).
+$$
+Оставив только первые и вторые степени по $r$, действительно получим, что:
+$$
+c_{11}=C_1\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr), \hspace{10pt}
+c_{12}=-\frac{C_1C_2}{r}, \hspace{10pt}
+c_{22}=C_2\bigl(1+\frac{C_1C_2}{r^2}\bigr).
 $$
-тогда с учётом малости r оставим только первые и вторsые степени: