electrodynamics:res2.11

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res2.11 [2019/09/29 18:03] – rootelectrodynamics:res2.11 [2020/10/06 11:53] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-Разделив диэлектрик внутри конденсатора на тонкие пластинки и считая каждую такую пластинку толщиной \(\Delta x\) плоским конденсатором с однородным диэлектриком, мы можем записать емкость такого конденсатора +2.11. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону $\varepsilon=\varepsilon_0\frac{x+a}{a}$, где $a$ --- расстояние между обкладками, ось $X$ направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых $S$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти емкость такого 
-\[ +конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов $U$. 
-{\Delta C}=\frac{\varepsilon S}{4\pi \Delta x}. + 
-\] +-----
-Как известно, полная емкость последовательно соединенных конденсаторов тогда равна +
-\[ +
-\frac{1}{C}=\sum{\frac{1}{\Delta C}}, +
-\] +
-или записывая это для бесконечно тонких пластин и заменяя суммирование на интегрирование, получим +
- \[ +
-\begin{split} +
- \frac{1}{C} &=\int {\frac{4\pi dx}{\varepsilon S}} =\frac{4\pi a}{S\varepsilon _0 }\int\limits_0^a {\frac{dx}{\left( {x + a} \right)}}  = +
-  \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\ln \left. {\left( {x + a} \right)} \right|_0^a  = \\ +
-    &= \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\left\{ \ln (2a) - \ln (a) \right\} = \frac{4\pi a}{\varepsilon _0 S}\ln 2, +
-\end{split} +
-\] +
-следовательно +
-\[ +
-C = \frac{{\varepsilon _0 S}}{{4\pi a\ln 2}}. +
-\]+
  
 Поскольку в объеме диэлектрика нет свободных зарядов, то в самом диэлектрике справедливо уравнение Поскольку в объеме диэлектрика нет свободных зарядов, то в самом диэлектрике справедливо уравнение
Строка 27: Строка 11:
 Из приведенного выше уравнения следует, что \(D= const \). Из граничного условия для границы металл-диэлектрик Из приведенного выше уравнения следует, что \(D= const \). Из граничного условия для границы металл-диэлектрик
 \[ \[
-D_{1n}-D_{2n} =4\pi \sigma_{\text{своб}}+D_{2n}-D_{1n} =4\pi \sigma_{\text{своб}}
 \] \]
-для нормали из металла в диэлектрик с учетом того, что \(D_{2n}=0\), получаем+для нормали из металла в диэлектрик с учетом того, что \(D_{1n}=0\), получаем
 \[ \[
-D=4\pi\sigma_{\text{своб}}=4\pi Q/S=4\pi C U/S=\frac{U\varepsilon_0}{a \ln 2}.+D=4\pi\sigma_{\text{своб}}=\frac{4\pi Q}S,
 \] \]
-Откуда получаем+откуда
 \[ \[
-E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{U}{(x+a)\ln 2 }+E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S(x+a)}.
 \] \]
 +
 +Для того чтобы получить напряжение на конденсаторе необходимо проинтегрировать поле $E$:
 +$$
 +U =\int \limits_0^a E dx
 +=\int \limits_0^a \frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S(x+a)} dx =
 +\frac{4\pi Q a }{\varepsilon_0 S}\int\limits_0^a {\frac{dx}{x + a}}  = 
 +$$
 +$$
 +\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \ln \Bigl. {\left( {x + a} \right)} \Bigr|_0^a  = 
 +\frac{4\pi Q a}{\varepsilon_0 S} \left( \ln (2a) - \ln (a) \right) = \frac{4\pi Q a \ln 2}{\varepsilon_0 S}.
 +$$
 +Теперь вычислим ёмкость конденсатора:
 +\[
 +C = \frac QU= \frac{{\varepsilon _0 S}}{{4\pi a\ln 2}}.
 +\]
 +
 Плотность связанных зарядов в объеме определяется соотношением Плотность связанных зарядов в объеме определяется соотношением
 \[ \[
-\Div E=4\pi \rho_\text{связ},+\text{div} E=4\pi \rho_\text{связ},
 \] \]
 откуда откуда