Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.14 [2019/09/30 16:02] – root
+++ electrodynamics:res2.14 [2020/10/06 11:55] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.14. Пространство между обкладками сферического конденсатора
+частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного
+угла $\Omega$ с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок ---
+$a$ и $b$, проницаемость диэлектрика --- $\varepsilon$. Найти
+емкость конденсатора.
+-----
 В сферическом конденсаторе поле $\vec E$ направлено по радиусу $\vec r$. Такое решение получится если решать задачу $\Delta \varphi =0$ в пространстве между обкладками исходя из сферической симметрии задачи или из симметрии и [[t2|теоремы Гаусса]].
 Если конденсатор заполнен диэлектриком, то ситуация не меняется. Если же теперь только часть пространства, расположенного в некотором телесном угле --- $\Omega $ заполнена диэлектриком, а оставшаяся не заполнена, то симметрия нарушается.
-В двух областях будут свои поля $\vec E_i,$ $\vec D_i$ с $i\in \{1, 2\}.$ Причём на границе должны сшиваться тангенциальные (к границе) составляющие электрического поля $\vec E_{t1}=\vec E_{t2}.$
+В двух областях будут свои поля $\vec E_i,$ $\vec D_i$ с $i\in \{1, 2\}.$ Причём на границе должны сшиваться тангенциальные (к границе) составляющие электрического поля $E_{t1}=E_{t2}.$
 При этом интеграл
 $$
 \int \limits _{L_1}(\vec E_1 \cdot d \vec \ell)=\int \limits _{L_2}(\vec E_2 \cdot d \vec \ell)
-.$$
+,$$
+где $L_i$ --- пути интегрирования соединяющие две обкладки конденсатора в одной и другой средах.
+Разность потенциалов совпадает, т.к. обкладки металлические.
+На границе разделов двух сред свободных зарядов нет, следовательно, нормальные (к границе раздела сред) составляющие $D_{n1}=D_{n2}$. Но тогда, можно предположить, что из симметрии задачи эти составляющие должны быть равны нулю.
+Из теоремы Гаусса найдём заряд на внутренней обкладке конденсатора:
+$$
+\pi q=\oint\limits_{S_1+S_2}(\vec{D}\,d\vec{s})=\int \limits_{S_1}\varepsilon E\,ds+\int \limits_{S_2}E\,ds =
+$$
+$$
+\varepsilon E r^2\Omega+E r^2 (4\pi - \Omega).
+$$
+Разность потенциалов:
+$$
+U=\int \limits _a^b E \,dr = \int \limits _a^b \frac{4\pi }{\varepsilon \Omega+ (4\pi - \Omega)} \frac 1{r^2}\,dr =
+\frac{4\pi }{\varepsilon \Omega+ (4\pi - \Omega)} (\frac 1a -\frac 1b).
+$$
+Таким образом ёмкость составного сферического конденсатора:
+$$
+C  = \frac{q}{U}=
+\frac{{a b}}{{b  - a }}\left( {1 - \frac{\Omega }{{4\pi }} + \varepsilon \frac{\Omega }{{4\pi }}} \right) =
+$$
+$$
+\frac{{a b}}{{b - a}}\left( {1 - \frac{\Omega }{{4\pi }}\left( {1 - \varepsilon } \right)} \right).
+$$
-Емкость составного сферического конденсатора представляет собой емкость 2-х параллельно соединенных конденсаторов. (Подумайте, как это можно доказать). Тогда
-\[
-C = C_1  + C_2.
-\]
-\[
-\begin{split}
-C & = \frac{a b}{b  - a}
-\left\{ \frac{S_\text{сферы} - S_\text{угл.}}{S_\text{сферы}} +
-\varepsilon \frac{{S}_\text{угл.}}{{S}_\text{сферы}} \right\}
-= \frac{{a b}}{{b  - a }}\left\{ {1 - \frac{\Omega }{{4\pi }} + \varepsilon \frac{\Omega }{{4\pi }}} \right\}\\
- &= \frac{{a b}}{{b - a}}\left\{ {1 - \frac{\Omega }{{4\pi }}\left[ {1 - \varepsilon } \right]} \right\}.
- \end{split}
-\]