electrodynamics:res2.22

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res2.22 [2019/10/01 18:41] – создано rootelectrodynamics:res2.22 [2019/10/02 05:32] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +{{:electrodynamics:выделение_057.jpg?direct&200 |}}
 +
 В верхнем полупространстве потенциал поля, создаваемого В верхнем полупространстве потенциал поля, создаваемого
-  зарядом $q$ +зарядом $q$ 
-  и индуцированными зарядами на +и индуцированными зарядами на 
-  проводнике, можно представить как потенциал +проводнике, можно представить как потенциал 
-  поля, создаваемого зарядом $q$ и его +поля, создаваемого зарядом $q$ и его 
-  изображением $q'=-q$ по другую сторону +изображением $q'=-q$ по другую сторону 
-  плоскости раздела +плоскости раздела 
-  на таком же расстоянии от нее. +на таком же расстоянии от нее. 
- Действительно, потенциал поля точечных зарядов  $q$  и+ 
 +Действительно, потенциал поля точечных зарядов  $q$  и
 $q'$  в какой-либо точке $A$ над поверхностью $q'$  в какой-либо точке $A$ над поверхностью
- проводника+проводника
 \begin{equation} \begin{equation}
- \varphi=q\biggl(\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\biggr) +(1) \hspace{10pt} \varphi=q\biggl(\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\biggr), 
- \qquad\mbox{при}\qquad z\geq 0\,.+ \hspace{10pt} \mbox{при}\hspace{10pt} z\geq 0\,.
 \end{equation} \end{equation}
- Этот потенциал  обращается в нуль на  поверхности проводника+Этот потенциал  обращается в нуль на  поверхности проводника
 $(r_+=r_-)$, а поэтому поверхность проводника будет $(r_+=r_-)$, а поэтому поверхность проводника будет
- эквипотенциальной поверхностью в системе +эквипотенциальной поверхностью в системе 
- зарядов $q$ и $(-q)$. +зарядов $q$ и $(-q)$. 
- Функция (1) является  решением уравнения   Пуассона + 
-$\Delta\varphi$=-$4\pi \sum q_i\delta(\vec{r}-\vec{r_i})$ для верхнего +Функция (1) является  решением уравнения   Пуассона 
- полупространства $z\geq 0$, где $\delta(\vec{r})\;$ -- +$$ 
- дельта функция. Это решение удовлетворяет граничному +\Delta\varphi =- 4\pi \sum q_i\delta(\vec{r}-\vec{r_i}) 
- условию $\varphi(\vec{r})=0\;$  при $z=0$. По теореме +$$ 
- единственности оно и есть искомое решение.  В  нижнем+для верхнего 
 + полупространства $z\geq 0$, где $\delta(\vec{r})\;$ --- это 
 + [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Дельта-функция|дельта функция.]]  
 + 
 +Раз решение (1) --- решение уравнения Пуассона удовлетворяет граничному 
 +условию нашей задачи, а именно: $\varphi(\vec{r})=0\;$  при $z=0$, то по теореме 
 + единственности оно и есть искомое и единственное решение нашей задачи.  
 + 
 +В  нижнем
  полупространстве, заполненном проводящей   полупространстве, заполненном проводящей 
-   \begin{wrapfigure}[6]{l}{4.8cm} 
-\vspace{-60pt} 
-\includegraphics[width=4.6cm]{RIS27.eps} 
-\end{wrapfigure} 
  средой, поле равно  средой, поле равно
- нулю. Поэтому + нулю. Тогда решение для всего пространства: 
- \[ +$$ 
- \begin{array}{ll} +\vec{E}=\frac{q\vec{r_+}}{r_+^3}- 
- \vec{E}=\frac{q\vec{r_+}}{r_+^3}- +\frac{q\vec{r_-}}{r_-^3}\,,\hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z> 0, 
-\frac{q\vec{r_-}}{r_-^3}&\mbox{при} \qquad z> 0,\\ +$$ 
- \vec{E}=0&\mbox{при} \qquad z<0\,. +$$ 
- \end{array} +\vec{E}=0\,, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z<0\,. 
- \]+$$
  
  
    
- 
    
- Индуцированные заряды притягивают заряд $q$  с той же силой, +Индуцированные заряды притягивают заряд $q$  с той же силой, 
- что и фиктивный заряд $q'=-q$, поскольку  он создает +что и фиктивный заряд $q'=-q$, поскольку  он создает 
-  в верхнем полупространстве такое же поле, что и индуцированные+в верхнем полупространстве такое же поле, что и индуцированные
  заряды. Эта сила равна  заряды. Эта сила равна
-$$\vec{F}=-\frac{q^2}{4a^2}\,\frac{\vec{z}}{z}.$$+$$ 
 +\vec{F}=-\frac{q^2}{4a^2}\,\frac{\vec{z}}{z}. 
 +$$
  Поверхностная плотность индуцированных зарядов найдется по  Поверхностная плотность индуцированных зарядов найдется по
  формуле  формуле
-$$\sigma=\frac{1}{4\pi}E_z\Big|_{z=0}=- +$$ 
- \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta\,,$$ +\sigma=\frac{1}{4\pi}E_z\Big|_{z=0}=- 
- где $E_z\Big|_{z=0}$ -- нормальная составляющая поля при + \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta\,, 
-$z=0\,$. Проверьте, что касательная составляющая поля равна +$$ 
- нулю при $z=0\,$. Полный  заряд, индуцированный на + где $E_z\Big|_{z=0}$ --- нормальная составляющая поля при 
- поверхности проводника: +$z=0\,$. 
-$$Q=-\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta +
-\cdot 2\pi a^2\frac{\sin\theta}{\cos^3\theta}\,d\theta= +
-  -q\,.$$+
  
 +Полный  заряд, индуцированный на
 +поверхности проводника:
 +$$
 +Q=-\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta
 +\cdot 2\pi a^2\frac{\sin\theta}{\cos^3\theta}\,d\theta=
 +-q\,.
 +$$