electrodynamics:res2.22

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res2.22 [2019/10/02 05:16] – rootelectrodynamics:res2.22 [2019/10/02 05:32] (текущий) – root
Строка 14: Строка 14:
 проводника проводника
 \begin{equation} \begin{equation}
-(1) \hspace{10pt} \varphi=q\biggl(\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\biggr) +(1) \hspace{10pt} \varphi=q\biggl(\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\biggr), 
- \qquad\mbox{при}\qquad z\geq 0\,.+ \hspace{10pt} \mbox{при}\hspace{10pt} z\geq 0\,.
 \end{equation} \end{equation}
 Этот потенциал  обращается в нуль на  поверхности проводника Этот потенциал  обращается в нуль на  поверхности проводника
Строка 24: Строка 24:
 Функция (1) является  решением уравнения   Пуассона Функция (1) является  решением уравнения   Пуассона
 $$ $$
-\Delta\varphi$=-$4\pi \sum q_i\delta(\vec{r}-\vec{r_i})+\Delta\varphi =- 4\pi \sum q_i\delta(\vec{r}-\vec{r_i})
 $$ $$
 для верхнего для верхнего
- полупространства $z\geq 0$, где $\delta(\vec{r})\;$ --- + полупространства $z\geq 0$, где $\delta(\vec{r})\;$ --- это 
- дельта функция. Это решение удовлетворяет граничному + [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Дельта-функция|дельта функция.]]  
- условию $\varphi(\vec{r})=0\;$  при $z=0$. По теореме + 
- единственности оно и есть искомое решение.  В  нижнем+Раз решение (1) --- решение уравнения Пуассона удовлетворяет граничному 
 +условию нашей задачи, а именно: $\varphi(\vec{r})=0\;$  при $z=0$, то по теореме 
 + единственности оно и есть искомое и единственное решение нашей задачи.  
 + 
 +В  нижнем
  полупространстве, заполненном проводящей   полупространстве, заполненном проводящей 
-\begin{wrapfigure}[6]{l}{4.8cm} 
-\vspace{-60pt} 
-\includegraphics[width=4.6cm]{RIS27.eps} 
-\end{wrapfigure} 
  средой, поле равно  средой, поле равно
- нулю. Поэтому + нулю. Тогда решение для всего пространства: 
- \[ +$$ 
- \begin{array}{ll} +\vec{E}=\frac{q\vec{r_+}}{r_+^3}- 
- \vec{E}=\frac{q\vec{r_+}}{r_+^3}- +\frac{q\vec{r_-}}{r_-^3}\,,\hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z> 0, 
-\frac{q\vec{r_-}}{r_-^3}&\mbox{при} \qquad z> 0,\\ +$$ 
- \vec{E}=0&\mbox{при} \qquad z<0\,. +$$ 
- \end{array} +\vec{E}=0\,, \hspace{10pt} \mbox{при} \hspace{10pt} z<0\,. 
- \]+$$
  
  
    
    
- Индуцированные заряды притягивают заряд $q$  с той же силой, +Индуцированные заряды притягивают заряд $q$  с той же силой, 
- что и фиктивный заряд $q'=-q$, поскольку  он создает+что и фиктивный заряд $q'=-q$, поскольку  он создает
 в верхнем полупространстве такое же поле, что и индуцированные в верхнем полупространстве такое же поле, что и индуцированные
  заряды. Эта сила равна  заряды. Эта сила равна
Строка 62: Строка 62:
  \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta\,,  \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta\,,
 $$ $$
- где $E_z\Big|_{z=0}$ -- нормальная составляющая поля при + где $E_z\Big|_{z=0}$ --- нормальная составляющая поля при 
-$z=0\,$. Проверьте, что касательная составляющая поля равна +$z=0\,$.  
- нулю при $z=0\,$. Полный  заряд, индуцированный на + 
- поверхности проводника:+Полный  заряд, индуцированный на 
 +поверхности проводника:
 $$ $$
 Q=-\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta Q=-\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{q}{2\pi a^2}\cos^3\theta