Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.32 [2019/10/25 12:40] – root
+++ electrodynamics:res2.32 [2019/10/25 13:11] (текущий) – root
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 $$\varphi  = \frac q{r_1} - \frac q{r_2} + \frac{q'}{r_3} - \frac{q'}{r_4},$$
 где
 $r_i$ показаны на рисунке.
-$\frac{\partial}{\partial r}\left.\left(\frac{q}{\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)}}-\frac{q}{\sqrt{r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)}}+\frac{-q\frac{a}{b}}{\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}-2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}}-\frac{-q\frac{a}{b}}{\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}+2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}}\right)\right|_{r=a}=$
-$\left.q\left(\frac{r-b\cdot\cos(\theta)}{\left(r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{r+b\cdot\cos(\theta)}{\left(r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{\frac{a}{b}\left(r-\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}-2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{\frac{a}{b}\left(r+\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}+2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right|_{r=a}=$
+Расписав  расстояния $r_i$ через расстояние $r$ и угол $\theta :$
+$$
-$q\left(\frac{a-b\cdot\cos(\theta)}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{a+b\cdot\cos(\theta)}{\left(a^{2}+b^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2}\left(b-a\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(\frac{a}{b}\right)^{3}\left(b^{2}+a^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2}\left(b+a\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(\frac{a}{b}\right)^{3}\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)=$
+r_1=\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)}, \hspace{7pt} r_2=\sqrt{r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)},
+$$
-$q\left(\frac{a-b\cdot\cos(\theta)}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{\frac{b}{a}\left(b-a\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(b^{2}+a^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{a+b\cdot\cos(\theta)}{\left(a^{2}+b^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{\frac{b}{a}\left(b+a\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)=$
+$$
+r_3=\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}-2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}, \hspace{7pt}
-$q\left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{b^{2}-a^{2}}{a\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)=$
+r_4=\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}+2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}
+$$
-$q\frac{b^{2}-a^{2}}{a}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$
+и [[res2.32-1|взяв производную]] по $r$ --- найдём нормальную составляющую электрического поля и поверхностную плотность зарядов:
+$$
-$\sigma=q\frac{b^{2}-a^{2}}{4\pi a}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$
+\sigma=q\frac{b^{2}-a^{2}}{4\pi a}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)
+$$
-$Q=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma\,dS=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma2\pi a^{2}\sin\theta\,d\theta=qa\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\sin\theta\,d\theta=$
+Что бы получить заряд осталось проинтегрировать
+$$
-$-qa\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\,d(\cos\theta)=$
+Q=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma\,dS=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma2\pi a^{2}\sin\theta\,d\theta .
+$$
-$q\frac{b^{2}-a^{2}}{2b}\left.\left(\frac{1}{\sqrt{b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)}}+\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)}}\right)\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$
+Подставив полученную поверхностную плотность зарядов, [[res2.32-2|проинтегрируем]] и придём к выражению:
+$$
-$q\frac{b^{2}-a^{2}}{2b}\left(\frac{2}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{b^{2}+a^{2}+2ab}}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab}}\right)=$
+Q=-q\left(1-\frac{b^{2}-a^{2}}{b\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\right).
+$$
-$q\frac{b^{2}-a^{2}}{2b}\left(\frac{2}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{b+a}-\frac{1}{b-a}\right)=$
-$q\frac{b^{2}-a^{2}}{b}\left(\frac{1}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}-\frac{b}{b^{2}-a^{2}}\right)=$
-$-q\left(1-\frac{b^{2}-a^{2}}{b\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\right)$