electrodynamics:res2.4

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res2.4 [2019/09/19 08:26] – создано rootelectrodynamics:res2.4 [2020/09/24 17:37] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-  Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа и из +2.4. Точечный заряд 
- симметрии задачи может зависеть только от $R$ и угла $\theta$ +$q$ расположен на плоской границе раздела двух однородных 
- (см. рисунок). Кроме того, на границе +бесконечных диэлектриков с проницаемостями $\varepsilon_1$ и 
-\begin{wrapfigure}[6]{l}{3.5cm} +$\varepsilon_2$. Найти напряженность и индукцию электрического 
-\vspace{-10pt} +поля, а также его потенциал. 
-\includegraphics[width=2.8cm]{RIS19.eps} + 
-\end{wrapfigure} +----- 
-   раздела диэлектриков ($z=0$) должны+ 
 + 
 +{{ :electrodynamics:выделение_054.jpg?direct&200 |}} 
 + 
 +Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа и из 
 +симметрии задачи может зависеть только от $R$ и угла $\theta$. Кроме того, на границе 
 +раздела диэлектриков ($z=0$) должны
 удовлетворяться граничные условия: удовлетворяться граничные условия:
- 1) непрерывность касательной составляющей +  - непрерывность касательной составляющей напряженности электрического поля $E_{1\tau}|_{z=0}=\negthickspace E_{2\tau}|_{z=0}$ или потенциала электрического поля $\varphi_1|_{z=0}=\varphi_2|_{z=0}$; 
- напряженности электрического поля +  - непрерывность  нормальной составляющей вектора электрической индукции   $D_{1n}|_{z=0}=D_{2n}|_{z=0}\;$, поскольку $\text{div}\vec{D}=4\pi\rho$,   где $\rho$ --- плотность свободных зарядов в диэлектрике, а везде кроме начала координат свободные заряды отсутствуют.
- $E_{1\tau}|_{z=0}=\negthickspace E_{2\tau}|_{z=0}$ +
- или потенциала электрического +
-  поля $\varphi_1|_{z=0}=\varphi_2|_{z=0}$; +
-  2) непрерывность  нормальной составляющей +
- вектора электрической индукции +
-  $D_{1n}|_{z=0}=D_{2n}|_{z=0}\;$, +
- поскольку +
-$\Div\vec{D}=4\pi\rho$, +
-  где $\rho$ -- плотность свободных зарядов в диэлектрике, а везде кроме начала координат свободные заряды отсутствуют.+
  
-        Попробуем  найти решение в виде потенциала  от точечного +Попробуем  найти решение в виде потенциала  от точечного 
-  заряда в вакууме, умноженного на константу:+заряда в вакууме, умноженного на константу:
 $$\varphi_1=a_1\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\leq 0,$$ $$\varphi_1=a_1\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\leq 0,$$
 $$\varphi_2=a_2\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\geq 0.$$ $$\varphi_2=a_2\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\geq 0.$$
-  Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Из непрерывности + 
- потенциала при $z=0$  следует равенство констант $a_1=a_2=a$, +Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Из непрерывности 
- значит, $\varphi=aq/R$.  Равенство касательных составляющих +потенциала при $z=0$  следует равенство констант $a_1=a_2=a$, 
- электрического поля удовлетворяется автоматически, +значит, $\varphi=\frac{aq}R$.  Равенство касательных составляющих 
-  поскольку +электрического поля удовлетворяется автоматически, 
-$$\vec{E}=-\grad\,\varphi=aq\vec{R}/R^3.$$ +поскольку 
-Кроме того, на \, границе раздела, вообще, нормальная составляющая +$$ 
- $E_n=0$, так как вектор $\vec{R}$ лежит в плоскости раздела при $z=0$. +\vec{E}=-\text{grad}\,\varphi=\frac{aq\vec{R}}{R^3}. 
- Отсюда следует,  что выполняется второе условие:+$$ 
 +Кроме того, на границе раздела, вообще, нормальная составляющая 
 +$E_n=0$, так как вектор $\vec{R}$ лежит в плоскости раздела при $z=0$. 
 +Отсюда следует,  что выполняется второе условие:
 $D_{1n}|_{z=0}\!=\!D_{2n}|_{z=0}\!=\!0$, так как $D_{1n}|_{z=0}\!=\!D_{2n}|_{z=0}\!=\!0$, так как
 $$\vec{D}_1=\varepsilon_1\vec{E}=\varepsilon_1aq\frac{\vec{R}}{R^3} $$\vec{D}_1=\varepsilon_1\vec{E}=\varepsilon_1aq\frac{\vec{R}}{R^3}
  \;,\;\;\vec{D}_2=\varepsilon_2\vec{E}=  \;,\;\;\vec{D}_2=\varepsilon_2\vec{E}=
  \varepsilon_2aq\frac{\vec{R}}{R^3}\;.$$  \varepsilon_2aq\frac{\vec{R}}{R^3}\;.$$
-   Чтобы найти коэффициент $a$, вычислим поток вектора $\vec{D}$ 
-  через сферу радиуса $R$ с центром в заряде: 
-$$\Phi=D_12\pi R^2+D_2 2\pi R^2\;.$$ 
-  С другой стороны, по теореме Гаусса $\Phi=4\pi q$. 
-  Приравнивая эти два выражения, получаем 
- $a=2/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$. 
  
-  Итак,+Чтобы найти коэффициент $a$, вычислим поток вектора $\vec{D}$ 
 +через сферу радиуса $R$ с центром в заряде: 
 +$$ 
 +\Phi=D_12\pi R^2+D_2 2\pi R^2\;. 
 +$$ 
 +С другой стороны, по теореме Гаусса $\Phi=4\pi q$. 
 +Приравнивая эти два выражения, получаем 
 +$$a=\frac{2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.$$ 
 + 
 +Итак,
 $$\varphi=\frac{2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} $$\varphi=\frac{2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}
   \frac{q}{R}\;,\qquad   \frac{q}{R}\;,\qquad
Строка 53: Строка 56:
 $$\vec{D}_2=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} $$\vec{D}_2=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}
 \frac{q\vec{R}}{R^3}\;\qquad \mbox{при}\qquad z>0\;.$$ \frac{q\vec{R}}{R^3}\;\qquad \mbox{при}\qquad z>0\;.$$
-  Найденная функция потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа 
- и граничным условиям, значит, она является решением рассматриваемой 
- задачи. 
  
 +Найденная функция потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа
 +и граничным условиям, значит, она является решением рассматриваемой
 +задачи.