Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.47 [2019/10/07 12:57] – root
+++ electrodynamics:res2.47 [2019/10/31 06:51] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-а) $ \Delta W = \frac{{\left( {1 - \varepsilon } \right)CU^2 }}{2};$
+.47. Внутри плоского конденсатора с площадью пластин $S$ и расстоянием $d$ между ними находится пластинка из стекла, целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Диэлектрическая
+проницаемость стекла --- $\varepsilon$. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластинку? Решить задачу при условиях:
-б) $ \Delta W = \frac{{\left( {1 - \varepsilon } \right)Q^2 }}{{2\varepsilon C}},  A = \Delta W$,
+а) конденсатор все время присоединен к батарее с ЭДС ${\cal{E}}$;
-$C = \frac{S}{{4\pi d}}$.
+б) конденсатор был сначала подсоединен к той же батарее, а затем отключен и только после этого пластинка была удалена.
+Найти механическую работу, которая затрачивается на удаление пластинки в том и другом случае.
+-----
+б) Начнём с более простого, второго варианта. Так как конденсатор сначала подключили к конденсатору и зарядили его, а потом отключили и удалили пластину, то в этом процессе неизменным был заряд на пластине --- $Q=C_{\varepsilon}{\cal{E}}$. Работа на перемещение равна разности энергий:
+$$
+A=-\Delta W_{12}= -(W_1-W_2)=\frac{Q^2}{2C}-\frac{Q^2}{2C_{\varepsilon}},
+$$
+где $C_{\varepsilon}=\varepsilon C$ --- ёмкость конденсатора со стеклянной пластиной. Так как энергия в конечном состоянии $W_2\ge W_1$ (равенство при $\varepsilon = 1$) увеличивается, то работа положительная.
+$$
+A=\frac{Q^2}{2C}-\frac{Q^2}{2C_{\varepsilon}}=\frac{Q^2}{2C}(1-\frac{1}{\varepsilon})=\frac{\varepsilon (\varepsilon-1){\cal E}^2C}{2}.
+$$
+а) В первом случае, когда конденсатор постоянно подключен к батарее с ЭДС ${\cal{E}}$:
+$$\Delta W_{12}= W_1-W_2 = \frac{{\left( {\varepsilon -1} \right)C{\cal E}^2 }}{2}.$$
+Т.е. энергия конденсатора уменьшилась, разность энергий положительна, будет ли тогда работа отрицательной, т.е. совершаться самим конденсатором приводя к выталкиванию пластины? Опыт показывает, что нет. И действительно, нам необходимо ещё учесть работу по перемещению заряда на конденсаторе, ведь при постоянном напряжении на обкладках конденсатора и переменной ёмкости --- заряд должен измениться и перейти в источник ЭДС. Первоначальный заряд $Q_1=\varepsilon C{\cal{E}}$, а после извлечения пластины $Q_2=C{\cal{E}}$, тогда общий баланс энергий:
+$$W_1+A=W_2+(Q_1-Q_2){\cal E}$$
+так, что
+$$A=-\Delta W_{12}+(\varepsilon C{\cal{E}}-C{\cal{E}}){\cal{E}}=$$
+$$A=-\frac{{\left( {\varepsilon -1} \right)C{\cal E}^2 }}{2}+(\varepsilon-1)C{\cal E}^2 =\frac{{\left( {\varepsilon -1} \right)C{\cal E}^2 }}{2}.$$