Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res2.8a [2019/09/19 08:23] – создано root
+++ electrodynamics:res2.8a [2020/09/24 17:42] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+.8. a) Однородный шар радиуса $a$ с  диэлектрической проницаемостью
+$\varepsilon_1$ погружен в однородный неограниченный диэлектрик
+$\varepsilon_2$. На большом расстоянии от шара в диэлектрике
+имеется однородное электрическое поле $\vec{E}_0$. Найти потенциал
+и напряженность электрического поля во всем пространстве, а также
+распределение связанных зарядов на шаре и его поляризованность.
+-----
+{{ :electrodynamics:выделение_055.jpg?direct&200 |}}
 Решение рассматриваемой задачи сводится к решению уравнения
-\begin{wrapfigure}[4]{l}{3.0cm}
-\vspace{-10pt}
-\includegraphics[width=2.6cm]{RIS20.eps}
-\end{wrapfigure}
 Лапласа $\Delta\varphi=0$. В сферической системе координат с
 центром в центре шара и с осью  $Z$ вдоль $\vec{E}_0$, в области
-$R\geq a\,$  решение будем искать в виде (см. решение задачи о металлическом шаре в однородном поле).
+$R\geq a\,$  решение будем искать в виде (см. решение задачи [[res1.51|1.51]] ---  о металлическом шаре в однородном поле).
-$$\varphi_2=-E_0z+A_2\frac{\vec{E}_0\vec{R}}{R^3}=
+$$
- -E_0R\cos\theta+A_2\frac{E_0\cos\theta}{R^2}.$$
+\varphi_2=-E_0z+A_2\frac{\vec{E}_0\vec{R}}{R^3}=
- Введение члена ($-E_0z\,$) оправдывается тем,  что  на
+-E_0R\cos\theta+A_2\frac{E_0\cos\theta}{R^2}.
- больших расстояниях от шара поле должно быть невозмущенным.
+$$
- Второй член
+Введение члена ($-E_0z\,$) оправдывается тем,  что  на
- учитывает поле от поляризованного шара в виде поля от  дипольного
+больших расстояниях от шара поле должно быть невозмущенным.
- момента $\sim E_0$. Для $R\leq a$  решение будем искать в виде
+Второй член
-$$\varphi_1=C_1E_0z\equiv C_1E_0R\cos\theta\;,$$
+учитывает поле от поляризованного шара в виде поля от  дипольного
-  т.~е. предполагаем, что поле внутри шара однородно. Мы уже
+момента $\sim E_0$. Для $R\leq a$  решение будем искать в виде
-  знаем из решения задачи для проводящего шара  в однородном электрическом поле, что, для того чтобы скомпенсировать   внешнее поле, шар приобретает дипольный момент. Заряды на поверхности
+$$
-  распределятся  таким образом, чтобы поле  от них внутри шара равнялось внешнему полю $\vec{E}_0$ и было
+\varphi_1=C_1E_0z\equiv C_1E_0R\cos\theta\;,
- противоположно ему направлено. Каждый из потенциалов является
+$$
-  решением   уравнения Лапласа. Если мы подберем константы $C_1$
+т.е. предполагаем, что поле внутри шара однородно. Мы уже
-  и $A_2$ так, чтобы удовлетворялись граничные условия, то
+знаем из решения задачи для проводящего шара  в однородном электрическом поле, что, для того чтобы скомпенсировать   внешнее поле, шар приобретает дипольный момент. Заряды на поверхности
-  функции $\varphi_1$ и $\varphi_2$   будут единственным  решением
+распределятся  таким образом, чтобы поле  от них внутри шара равнялось внешнему полю $\vec{E}_0$ и было
- поставленной  задачи. Из условия непрерывности на поверхности шара
+противоположно ему направлено. Каждый из потенциалов является
- потенциала $\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$ и  нормальной  составляющей
+решением   уравнения Лапласа. Если мы подберем константы $C_1$
- электрической индукции
+и $A_2$ так, чтобы удовлетворялись граничные условия, то
-$$\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg|_{R=a}=
+функции $\varphi_1$ и $\varphi_2$   будут единственным  решением
-  \varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg|_{R=a}$$
+поставленной  задачи.
-  следует, что
-$$C_1=-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2},\qquad
+Из условия непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля $E_{1t}=E_{2t}$ на поверхности шара:
-A_2=a^3\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}.$$
+$$
-     Итак, шар приобретает дипольный момент
+\frac 1R \frac{\partial\varphi_1}{\partial \theta}\bigg|_{R=a}=
-$$\vec{d}=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}
+\frac 1R \frac{\partial\varphi_2}{\partial \theta}\bigg|_{R=a}
- {\varepsilon_1+2\varepsilon_2}a^3\vec{E}_0.$$
+$$
- Распределение потенциала будет иметь вид
-$$\varphi_1=-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0z
+и  нормальной  составляющей электрической индукции
-  \;\qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\;,$$
+$$
-$$\varphi_2=-E_0z+\frac{\vec{d}\vec{R}}{R^3}=
+\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg|_{R=a}=
+  \varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg|_{R=a}
+$$
+получим систему их двух уравнений:
+$$
+C_1=-1+\frac{A_2}{a^3} \hspace{7pt} \text{и} \hspace{7pt}
+\varepsilon_1 C_1= \varepsilon_2 (-1 -2\frac{A_2}{a^3}).
+$$
+Решая систему найдём:
+$$
+C_1=-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2},\qquad
+A_2=a^3\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}.
+$$
+Итак, шар приобретает дипольный момент
+$$
+\vec{d}=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}
+ {\varepsilon_1+2\varepsilon_2}a^3\vec{E}_0.
+$$
+Распределение потенциала будет иметь вид
+$$
+\varphi_1=-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0z
+  \;\qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\;,
+$$
+$$
+\varphi_2=-E_0z+\frac{\vec{d}\vec{R}}{R^3}=
  -E_0R\cos\theta+A_2\frac{E_0\cos\theta}{R^2}
-  \;\qquad \mbox{при}\qquad R\geq a\;.$$
+  \;\qquad \mbox{при}\qquad R\geq a\;.
- Производя такие же  вычисления, как и в задаче о проводящем шаре, получаем выражения для напряженности электрического поля
+$$
+Взяв градиент от потенциала найдём напряженность электрического поля
 \[
 \begin{split}
-\vec{E}_1=&-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}\vec{E}_0\;\;\hspace{26pt} \text{при}\qquad R< a,\\
+\vec{E}_1=&\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}\vec{E}_0\;\;\hspace{26pt} \text{при}\qquad R< a,\\
 \vec{E}_2=&\vec{E}_0-\frac{\vec{d}}{R^3}+
  \frac{3(\vec{d}\vec{R})\vec{R}}{R^5} \;\; \text{при}\qquad R> a.
 \end{split}
 \]
- Напряженность электрического поля внутри шара больше $E_0$,
+Напряженность электрического поля внутри шара больше $E_0$,
- если $\varepsilon_2>\varepsilon_1$, и меньше $E_0$, если
+если $\varepsilon_2>\varepsilon_1$, и меньше $E_0$, если
- $\varepsilon_2<\varepsilon_1$. Поверхностная
+$\varepsilon_2<\varepsilon_1$.
- плотность связанных зарядов $\sigma_\text{св}$ на границе раздела двух
- сред определяются формулой $\sigma_\text{св}=
- P_{1n}\big|_{R=a}-P_{2n}\big|_{R=a}$, где $P_{1n}$,\lb
- $P_{2n}$ -- нормальные составляющие вектора поляризации. Орт
- нормали $\vec{n}$
- проведен из первой среды во вторую. Поскольку
-$$\vec{P}=\frac{\vec{D}-\vec{E}}{4\pi}=
-  \frac{(\varepsilon-1)\vec{E}}{4\pi}\;,$$
- то
-$$\sigma_\text{св}=\frac{1}{4\pi}\biggl[(\varepsilon_1-1)E_{1n}\big|_{R=a}-
-   (\varepsilon_2-1)E_{2n}\big|_{R=a}\biggr]\;.$$
- Вычислим $E_{1n}$ и $E_{2n}$    на поверхности шара:
-$$E_{1n}\big|_{R=a}=-\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg|_{R=a}=
-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;,$$
-$$E_{2n}\big|_{R=a}=-\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg|_{R=a}=
-E_0\cos\theta+\frac{2(\varepsilon_1-\varepsilon_2)}
-{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;.$$
- Окончательно
-$$\sigma_\text{св}=\frac{3}{4\pi}\;\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}
-{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;.$$
+Суммарная поверхностная плотность связанных и свободных зарядов связана со скачком электрического поля. Но свободных зарядов нет, следовательно:
+$$
+\sigma_\text{св}= E_{2n}\big|_{R=a}-E_{1n}\big|_{R=a}.
+$$
+Орт нормали $\vec{n}$ проведен из первой среды во вторую.
+/* Поскольку
+$$
+\vec{P}=\frac{\vec{D}-\vec{E}}{4\pi}=
+  \frac{(\varepsilon-1)\vec{E}}{4\pi}\;,
+$$
+то
+$$
+\sigma_\text{св}=\frac{1}{4\pi}\biggl[(\varepsilon_1-1)E_{1n}\big|_{R=a}-
+   (\varepsilon_2-1)E_{2n}\big|_{R=a}\biggr]\;.
+$$
+*/
+Вычислим $E_{1n}$ и $E_{2n}$    на поверхности шара:
+$$
+E_{1n}\big|_{R=a}=-\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg|_{R=a}=
+\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;,
+$$
+$$
+E_{2n}\big|_{R=a}=-\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg|_{R=a}=
+E_0\cos\theta+\frac{2(\varepsilon_1-\varepsilon_2)}
+{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;.
+$$
+Окончательно
+$$
+\sigma_\text{св}=\frac{3}{4\pi}\;\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}
+{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;.
+$$