electrodynamics:res2.8a

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res2.8a [2019/09/21 06:29] – rootelectrodynamics:res2.8a [2020/09/24 17:42] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 +2.8. a) Однородный шар радиуса $a$ с  диэлектрической проницаемостью
 +$\varepsilon_1$ погружен в однородный неограниченный диэлектрик
 +$\varepsilon_2$. На большом расстоянии от шара в диэлектрике
 +имеется однородное электрическое поле $\vec{E}_0$. Найти потенциал
 +и напряженность электрического поля во всем пространстве, а также
 +распределение связанных зарядов на шаре и его поляризованность.
 +
 +-----
 +
 {{ :electrodynamics:выделение_055.jpg?direct&200 |}} {{ :electrodynamics:выделение_055.jpg?direct&200 |}}
 Решение рассматриваемой задачи сводится к решению уравнения Решение рассматриваемой задачи сводится к решению уравнения
 Лапласа $\Delta\varphi=0$. В сферической системе координат с Лапласа $\Delta\varphi=0$. В сферической системе координат с
 центром в центре шара и с осью  $Z$ вдоль $\vec{E}_0$, в области центром в центре шара и с осью  $Z$ вдоль $\vec{E}_0$, в области
-$R\geq a\,$  решение будем искать в виде (см. решение задачи [[res1.51|о металлическом шаре в однородном поле]]).+$R\geq a\,$  решение будем искать в виде (см. решение задачи [[res1.51|1.51]] ---  о металлическом шаре в однородном поле).
 $$ $$
 \varphi_2=-E_0z+A_2\frac{\vec{E}_0\vec{R}}{R^3}= \varphi_2=-E_0z+A_2\frac{\vec{E}_0\vec{R}}{R^3}=
Строка 23: Строка 32:
 и $A_2$ так, чтобы удовлетворялись граничные условия, то и $A_2$ так, чтобы удовлетворялись граничные условия, то
 функции $\varphi_1$ и $\varphi_2$   будут единственным  решением функции $\varphi_1$ и $\varphi_2$   будут единственным  решением
-поставленной  задачи. Из условия непрерывности на поверхности шара +поставленной  задачи.  
-потенциала $\varphi_1(a)=\varphi_2(a)$ и  нормальной  составляющей + 
-электрической индукции+Из условия непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля $E_{1t}=E_{2t}$ на поверхности шара: 
 +$$ 
 +\frac 1R \frac{\partial\varphi_1}{\partial \theta}\bigg|_{R=a}= 
 +\frac 1R \frac{\partial\varphi_2}{\partial \theta}\bigg|_{R=a} 
 +$$ 
 + 
 +и  нормальной  составляющей электрической индукции
 $$ $$
 \varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg|_{R=a}= \varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg|_{R=a}=
   \varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg|_{R=a}   \varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg|_{R=a}
 $$ $$
-следует, что+получим систему их двух уравнений:  
 +$$ 
 +C_1=-1+\frac{A_2}{a^3} \hspace{7pt} \text{и} \hspace{7pt} 
 +\varepsilon_1 C_1= \varepsilon_2 (-1 -2\frac{A_2}{a^3}). 
 +$$ 
 +Решая систему найдём:
 $$ $$
 C_1=-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2},\qquad C_1=-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2},\qquad
Строка 54: Строка 74:
 \[ \[
 \begin{split} \begin{split}
-\vec{E}_1=&-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}\vec{E}_0\;\;\hspace{26pt} \text{при}\qquad R< a,\\+\vec{E}_1=&\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}\vec{E}_0\;\;\hspace{26pt} \text{при}\qquad R< a,\\
 \vec{E}_2=&\vec{E}_0-\frac{\vec{d}}{R^3}+ \vec{E}_2=&\vec{E}_0-\frac{\vec{d}}{R^3}+
  \frac{3(\vec{d}\vec{R})\vec{R}}{R^5} \;\; \text{при}\qquad R> a.  \frac{3(\vec{d}\vec{R})\vec{R}}{R^5} \;\; \text{при}\qquad R> a.
Строка 61: Строка 81:
 Напряженность электрического поля внутри шара больше $E_0$, Напряженность электрического поля внутри шара больше $E_0$,
 если $\varepsilon_2>\varepsilon_1$, и меньше $E_0$, если если $\varepsilon_2>\varepsilon_1$, и меньше $E_0$, если
-$\varepsilon_2<\varepsilon_1$. Поверхностная +$\varepsilon_2<\varepsilon_1$.  
-плотность связанных зарядов $\sigma_\text{св}$ на границе раздела двух + 
-сред определяются формулой $\sigma_\text{св}= +Суммарная поверхностная плотность связанных и свободных зарядов связана со скачком электрического поля. Но свободных зарядов нет, следовательно: 
-P_{1n}\big|_{R=a}-P_{2n}\big|_{R=a}$, где $P_{1n}$,\lb +$$ 
-$P_{2n}$ -- нормальные составляющие вектора поляризации. Орт +\sigma_\text{св}= E_{2n}\big|_{R=a}-E_{1n}\big|_{R=a}. 
-нормали $\vec{n}$ +$$ 
-проведен из первой среды во вторую. Поскольку+Орт нормали $\vec{n}$ проведен из первой среды во вторую.  
 +/* Поскольку
 $$ $$
 \vec{P}=\frac{\vec{D}-\vec{E}}{4\pi}= \vec{P}=\frac{\vec{D}-\vec{E}}{4\pi}=
Строка 77: Строка 98:
    (\varepsilon_2-1)E_{2n}\big|_{R=a}\biggr]\;.    (\varepsilon_2-1)E_{2n}\big|_{R=a}\biggr]\;.
 $$ $$
 +*/
 Вычислим $E_{1n}$ и $E_{2n}$    на поверхности шара: Вычислим $E_{1n}$ и $E_{2n}$    на поверхности шара:
 $$ $$