Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res3.38 [2019/11/11 09:27] – root
+++ electrodynamics:res3.38 [2021/10/15 05:26] (текущий) – root
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат записывается
 так: $$
-\frac{1}{R}\frac{d}{dR}\left(R\frac{d\varphi(R)}{dR}\right)=-4\pi\rho(R)=\frac{4\pi
+\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi(r)}{dr}\right)=-4\pi\rho(r)=\frac{4\pi
-J }{2\pi Re}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(R),$$ т. е.
+J }{2\pi re}\sqrt{\frac{m}{2e}}\varphi^{-1/2}(r),$$ т. е.
 $$
-\frac{d}{dR}\left(R\frac{d\varphi}{dR}\right)=
+\frac{d}{dr}\left(r\frac{d\varphi}{dr}\right)=
 \frac{J}{\ell}\sqrt{\frac{2m}{e}}\varphi^{-1/2}=A\varphi^{-1/2};~~\varphi(0)=0;~~~\varphi(a)=U.$$
-Ищем решение в виде $ \varphi(R)=CR^{\alpha}.$
+Ищем решение в виде $ \varphi(r)=Cr^{\alpha}.$
 Подставляем в уравнение и получаем $$
-C\alpha(\alpha-1)R^{\alpha-1}=AC^{-1/2}R^{-\alpha/2}.$$
+C\alpha(\alpha-1)r^{\alpha-1}=AC^{-1/2}r^{-\alpha/2}.$$
-Степени $R$ должны быть одинаковы: $\alpha-1\!=\!-\alpha/2$,
+Степени $r$ должны быть одинаковы: $\alpha-1\!=\!-\alpha/2$,
 откуда $\alpha\!=\!\frac{2}{3}$.
 Подставляя $\alpha=\frac{2}{3}$ в предыдущее уравнение и сокращая
-на $R^{2/3}$, получаем уравнение для $C$: $$
+на $r^{2/3}$, получаем уравнение для $C$: $$
 \frac{9}{4}C=AC^{-1/2},$$ откуда
 $$C=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3}.$$
 Таким образом, $$
-\varphi(R)=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3},$$ откуда $$
+\varphi(r)=\left(\frac{4A}{9}\right)^{2/3},$$ откуда $$
 U=\frac{4aA}{9},~~~~J=\frac{2\sqrt{2}}{9}\cdot\frac{\ell}{a}\sqrt{\frac{e}{m}}U^{3/2}.$$