Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- electrodynamics:res3.5 [2019/11/08 09:35] – root
+++ electrodynamics:res3.5 [2019/11/08 10:31] (текущий) – root
@@ Строка 20: / Строка 20: @@
 В цилиндрической системе координат из--за симметрии задачи зависимость будет только от $r$, тогда
 \[
-\alpha r^n \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d\varphi }}{{dr}}} \right) + \alpha nr^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0
+\alpha r^n \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d\varphi }}{{dr}}} \right) + \alpha nr^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0,
 \]
 тогда
 \[
-r^n \frac{d}{dr} \frac{d \varphi }{dr} + \left( {n + 1} \right)r^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0
+r \frac{d}{dr} \left( \frac{d \varphi }{dr}\right) + \left( {n + 1} \right) \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0.
 \]
+Интегрируя придём к
 \[
-\varphi \left( r \right) = Ar^k  + B
+\frac{d \varphi }{dr} = Ar^{-(n+1)}.
 \]
-\(k_1  =  - n\) \(k_2  = 0\), \(\varphi \left( a \right) = V_0\) \(\varphi \left( b \right) = 0\)
+Интегрируя ещё раз
+$$
+\varphi = A'r^k +C.
+$$
+С учётом граничный условий \(\varphi \left( a \right) = V_0\) \(\varphi \left( b \right) = 0\) придём к выражению
 \[
-\varphi \left( r \right) = V\frac{\left( \frac br\right)^n  - 1}{\left( \frac ba\right)^n  - 1}
+\varphi \left( r \right) = V\frac{\left( \frac br\right)^n  - 1}{\left( \frac ba\right)^n  - 1}.
 \]
 Ток на единицу длины вдоль \(z\)
 \[
-I = 2\pi rj =  - 2\pi r\sigma \left( r \right)\nabla \varphi  = 2\pi V\frac{\alpha b^n }{\left(\frac ba\right)^n  - 1} = \frac{V}{R}
+I = 2\pi rj =  - 2\pi r\sigma \left( r \right)\nabla \varphi  = 2\pi V\frac{\alpha b^n }{\left(\frac ba\right)^n  - 1} = \frac{V}{R},
 \]
+так, что
 \[
-R = \frac{\left(\frac ba\right)^n  - 1}{2\pi \sigma _{\max } }
+R = \frac{\left(\frac ba\right)^n  - 1}{2\pi \sigma _{\max } }.
 \]