electrodynamics:res4.15

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
electrodynamics:res4.15 [2019/11/17 16:58] – rootelectrodynamics:res4.15 [2019/11/17 17:10] (текущий) – [3)] root
Строка 37: Строка 37:
 $\,\vec{j}(\vec{R}')\,dV'$ в выбранной системе координат. $\,\vec{j}(\vec{R}')\,dV'$ в выбранной системе координат.
  
-1 a)  Пусть $\,\vec{B}$   направлено по оси$\,Z$. Положим $\,A_z=0$, поскольку циркуляция вектора $\,\vec{A}$+==== 1 a) ==== 
 +Пусть $\,\vec{B}$   направлено по оси$\,Z$. Положим $\,A_z=0$, поскольку циркуляция вектора $\,\vec{A}$
  максимальна в плоскости ($X$,$Y$). Векторное уравнение (1)  максимальна в плоскости ($X$,$Y$). Векторное уравнение (1)
  равносильно трем скалярным уравнениям, которые с учетом  равносильно трем скалярным уравнениям, которые с учетом
Строка 44: Строка 45:
   \frac{\partial A_x}{\partial y}=B_z\,,$$   \frac{\partial A_x}{\partial y}=B_z\,,$$
 \begin{equation} \begin{equation}
-  \frac{\partial A_y}{\partial z}=0\,,+(5) \hspace{10pt}  \frac{\partial A_y}{\partial z}=0\,,
 \end{equation} \end{equation}
 $$\frac{\partial A_x}{\partial z}=0\,.$$ $$\frac{\partial A_x}{\partial z}=0\,.$$
Строка 51: Строка 52:
  функциями от $\,x$ и $\,y$ и  удовлетворяют уравнению  функциями от $\,x$ и $\,y$ и  удовлетворяют уравнению
 \begin{equation} \begin{equation}
-\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial+(6) \hspace{10pt} \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial
 y}=0\,. y}=0\,.
 \end{equation} \end{equation}
Строка 65: Строка 66:
 \end{array} \end{array}
 \] \]
-где $\,b$ -- произвольная постоянная. Подставляя это решение в+где $\,b$ --- произвольная постоянная. Подставляя это решение в
  уравнение (5), получаем  уравнение (5), получаем
 $$\frac{\partial A_2(x)}{\partial x}- $$\frac{\partial A_2(x)}{\partial x}-
-  \frac{\partial A_1(y)}{\partial y}=B_z=\const\,.$$ +  \frac{\partial A_1(y)}{\partial y}=B_z=\text{const}\,.$$ 
- Откуда+Откуда
 $$A_1(y)=-\frac{1}{2}B_z\cdot y\,,\qquad $$A_1(y)=-\frac{1}{2}B_z\cdot y\,,\qquad
-  A_2(x)=\frac{1}{2}B_z\cdot x\,.$$ +A_2(x)=\frac{1}{2}B_z\cdot x\,.$$ 
- Выбирая $\,b=0$, окончательно находим:+Выбирая $\,b=0$, окончательно находим:
 $$A_x=-\frac{1}{2}B_z\cdot y\,,\qquad $$A_x=-\frac{1}{2}B_z\cdot y\,,\qquad
   A_y=\frac{1}{2}B_z\cdot x\,,\;\;\;\;A_z=0\,.$$   A_y=\frac{1}{2}B_z\cdot x\,,\;\;\;\;A_z=0\,.$$
  
-1~б) В цилиндрической системе координат ($\,z$, $r$, $\alpha$)+==== 1 б) ==== 
 +В цилиндрической системе координат ($\,z$, $r$, $\alpha$)
  уравнение (1) будет равносильно уравнениям  уравнение (1) будет равносильно уравнениям
 $$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\alpha})- $$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\alpha})-
Строка 89: Строка 91:
   \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \alpha}=B_z\,,$$   \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \alpha}=B_z\,,$$
 \begin{equation} \begin{equation}
-  \frac{\partial A_{\alpha}}{\partial z}=0\,,+(7) \hspace{10pt}  \frac{\partial A_{\alpha}}{\partial z}=0\,,
 \end{equation} \end{equation}
 $$\frac{\partial A_{r}}{\partial z}=0\,.$$ $$\frac{\partial A_{r}}{\partial z}=0\,.$$
  
-   Выбирая $\,A_r=0$, из уравнения (7) находим+Выбирая $\,A_r=0$, из уравнения (7) находим
  $$\;A_{\alpha}=\frac{1}{2}B_{\alpha}r.$$  $$\;A_{\alpha}=\frac{1}{2}B_{\alpha}r.$$
  
- 1~в) В сферической системе координат ($\,R$,$\theta$,$\alpha$)+==== 1 в) ==== 
 +В сферической системе координат ($\,R$,$\theta$,$\alpha$)
  проекциями вектора $\,\vec{B}$  будут:  проекциями вектора $\,\vec{B}$  будут:
 $$B_R=B\cos\theta\,,\qquad B_{\theta}=-B\sin\theta\,, $$B_R=B\cos\theta\,,\qquad B_{\theta}=-B\sin\theta\,,
Строка 106: Строка 109:
  соответствующие векторному  уравнению (1), будут иметь вид:  соответствующие векторному  уравнению (1), будут иметь вид:
 \begin{equation} \begin{equation}
-\frac{1}{R\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+(8) \hspace{10pt} \frac{1}{R\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
 (\sin\theta\,A_{\alpha})=B\cos\theta\,, (\sin\theta\,A_{\alpha})=B\cos\theta\,,
 \end{equation} \end{equation}
 \begin{equation} \begin{equation}
-\frac{A_{\alpha}}{R}+\frac{\partial A_{\alpha}}{\partial R}=+(9) \hspace{10pt} \frac{A_{\alpha}}{R}+\frac{\partial A_{\alpha}}{\partial R}=
  B\sin\theta\,.  B\sin\theta\,.
 \end{equation} \end{equation}
- Интегрируя уравнение (8), получаем+Интегрируя уравнение (8), получаем
 $$A_{\alpha}= \frac{1}{2}BR\sin\theta+f(R)\,,$$ $$A_{\alpha}= \frac{1}{2}BR\sin\theta+f(R)\,,$$
-где $\,f(R)$ -- произвольная функция от $\,R$. Из симметрии+где $\,f(R)$ --- произвольная функция от $\,R$. Из симметрии
  задачи следует, что  задачи следует, что
 $\;A_{\alpha}\;$ не зависит от $\;\alpha$. \, Подставляя $\;A_{\alpha}\;$ не зависит от $\;\alpha$. \, Подставляя
Строка 124: Строка 127:
 $$A_R=A_{\theta}=0\,,\qquad A_{\alpha}=\frac{1}{2}BR\sin\theta\,.$$ $$A_R=A_{\theta}=0\,,\qquad A_{\alpha}=\frac{1}{2}BR\sin\theta\,.$$
  
-      2)~Будем \, решать \, задачу \, в \, цилиндрической \, системе +==== 2) ==== 
- координат. Пусть ток $\,J$  течет вдоль оси  $\,Z$  . Тогда из+Будем  решать  задачу  в  цилиндрической  системе 
 + координат. Пусть ток $\,J$  течет вдоль оси  $\,Z$. Тогда из
  уравнения (3) следует, что векторный потенциал можно выбрать направленным  уравнения (3) следует, что векторный потенциал можно выбрать направленным
  тоже по $\,Z$. Напряженность магнитного поля прямого тока  тоже по $\,Z$. Напряженность магнитного поля прямого тока
Строка 132: Строка 136:
  проекцию векторного уравнения (1) на $\,\alpha$-е направление:  проекцию векторного уравнения (1) на $\,\alpha$-е направление:
 \begin{equation} \begin{equation}
- \frac{2J}{cr}=-\frac{\partial A_z}{\partial r}\,.+(10) \hspace{10pt} \frac{2J}{cr}=-\frac{\partial A_z}{\partial r}\,.
 \end{equation} \end{equation}
  3десь положено $\;\mu=1$. Интегрируя уравнение (10), получаем  3десь положено $\;\mu=1$. Интегрируя уравнение (10), получаем
-$$A_z=-\frac{2J}{c}\ln r+\const\,.$$+$$A_z=-\frac{2J}{c}\ln r+\text{const}\,.$$
  Константа произвольна. Можно приписать точкам произвольной  Константа произвольна. Можно приписать точкам произвольной
  цилиндрической поверхности, соосной с током, нулевой  цилиндрической поверхности, соосной с током, нулевой
  векторный потенциал.  векторный потенциал.
  
- 3)~Кольцо с током радиуса $\,R_0$  расположено в плоскости $(X,Y)$. Найдем +==== 3) ====  
- \begin{wrapfigure}[7]{l}{3.5cm} +Кольцо с током радиуса $\,R_0$  расположено в плоскости $(X,Y)$. Найдем 
-\vspace{-15pt} +векторный потенциал в точке наблюдения, задаваемой радиус-вектором $\,\vec{R}$. 
-\includegraphics[width=3.5cm]{ris42.eps} +{{:electrodynamics:выделение_147.png?direct&200 |}} 
-\end{wrapfigure} +Для линейного тока  выражение (4) запишется  так:
- векторный потенциал в точке наблюдения, задаваемой радиус-вектором $\,\vec{R}$. +
- Для линейного тока  выражение (4) запишется  так:+
 \begin{equation} \begin{equation}
-\vec{A}(\vec{R})=\frac{J}{c}+(11) \hspace{10pt} \vec{A}(\vec{R})=\frac{J}{c}
  \oint\frac{d\vec{\ell}}{|\vec{R}-\vec{R}_0|}\,.  \oint\frac{d\vec{\ell}}{|\vec{R}-\vec{R}_0|}\,.
 \end{equation} \end{equation}
  Направим ось $\,X$  перпендикулярно плоскости,   в которой лежат  Направим ось $\,X$  перпендикулярно плоскости,   в которой лежат
 $\,Z$  и $\,\vec{R}$ (см. рисунок). На больших  расстояниях $\,Z$  и $\,\vec{R}$ (см. рисунок). На больших  расстояниях
- подынтегральное выражение~(11) можно представить так:+ подынтегральное выражение (11) можно представить так:
 $$\frac{1}{|\vec{R}-\vec{R}_0|}\approx\frac{1}{R}\bigg( $$\frac{1}{|\vec{R}-\vec{R}_0|}\approx\frac{1}{R}\bigg(
  1+\frac{(\vec{R}\,\vec{R}_0)}{R^2}\bigg)  1+\frac{(\vec{R}\,\vec{R}_0)}{R^2}\bigg)
Строка 159: Строка 161:
  Тогда  Тогда
 \begin{equation} \begin{equation}
-\vec{A}(\vec{R})=\frac{J}{cR}\biggl[+(12) \hspace{10pt} \vec{A}(\vec{R})=\frac{J}{cR}\biggl[
  \oint\,d\vec{\ell}+  \oint\,d\vec{\ell}+
  \frac{1}{R^2}\oint (\vec{R}\,\vec{R}_0)\,d\vec{\ell}\;\biggr]\,.  \frac{1}{R^2}\oint (\vec{R}\,\vec{R}_0)\,d\vec{\ell}\;\biggr]\,.
Строка 169: Строка 171:
 (-\vec{n}_x\sin\alpha+ \vec{n}_y\cos\alpha)\,d\alpha=$$ (-\vec{n}_x\sin\alpha+ \vec{n}_y\cos\alpha)\,d\alpha=$$
 \begin{equation} \begin{equation}
- =RR_0^2\,\sin\theta\,\sin\alpha\,+(13) \hspace{10pt}  =RR_0^2\,\sin\theta\,\sin\alpha\,
 (-\vec{n}_x\sin\alpha+ \vec{n}_y\cos\alpha)\,d\alpha\,, (-\vec{n}_x\sin\alpha+ \vec{n}_y\cos\alpha)\,d\alpha\,,
 \end{equation} \end{equation}
  где $\,\vec{n}_x$, $\vec{n}_y$ -- единичные векторы  в  где $\,\vec{n}_x$, $\vec{n}_y$ -- единичные векторы  в
  направлении осей $\,X$, $Y$.  направлении осей $\,X$, $Y$.
- При преобразовании +{{:electrodynamics:выделение_148.png?direct&200 |}} 
- \begin{wrapfigure}[9]{l}{3.5cm} +При преобразовании 
-\vspace{-10pt} +использованы равенства:
-\includegraphics[width=3.0cm]{ris43.eps} +
-\end{wrapfigure} +
-  использованы равенства:+
  $$d\vec{\ell}=(-\vec{n}_x\sin\alpha+  $$d\vec{\ell}=(-\vec{n}_x\sin\alpha+
  \vec{n}_y\cos\alpha)R_0\,d\alpha\,,$$  \vec{n}_y\cos\alpha)R_0\,d\alpha\,,$$