| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия |
| electrodynamics:res4.15 [2019/11/17 17:04] – root | electrodynamics:res4.15 [2019/11/17 17:10] (текущий) – [3)] root |
|---|
| $\,\vec{j}(\vec{R}')\,dV'$ в выбранной системе координат. | $\,\vec{j}(\vec{R}')\,dV'$ в выбранной системе координат. |
| |
| 1 a) Пусть $\,\vec{B}$ направлено по оси$\,Z$. Положим $\,A_z=0$, поскольку циркуляция вектора $\,\vec{A}$ | ==== 1 a) ==== |
| | Пусть $\,\vec{B}$ направлено по оси$\,Z$. Положим $\,A_z=0$, поскольку циркуляция вектора $\,\vec{A}$ |
| максимальна в плоскости ($X$,$Y$). Векторное уравнение (1) | максимальна в плоскости ($X$,$Y$). Векторное уравнение (1) |
| равносильно трем скалярным уравнениям, которые с учетом | равносильно трем скалярным уравнениям, которые с учетом |
| уравнение (5), получаем | уравнение (5), получаем |
| $$\frac{\partial A_2(x)}{\partial x}- | $$\frac{\partial A_2(x)}{\partial x}- |
| \frac{\partial A_1(y)}{\partial y}=B_z=\const\,.$$ | \frac{\partial A_1(y)}{\partial y}=B_z=\text{const}\,.$$ |
| Откуда | Откуда |
| $$A_1(y)=-\frac{1}{2}B_z\cdot y\,,\qquad | $$A_1(y)=-\frac{1}{2}B_z\cdot y\,,\qquad |
| A_y=\frac{1}{2}B_z\cdot x\,,\;\;\;\;A_z=0\,.$$ | A_y=\frac{1}{2}B_z\cdot x\,,\;\;\;\;A_z=0\,.$$ |
| |
| 1 б) В цилиндрической системе координат ($\,z$, $r$, $\alpha$) | ==== 1 б) ==== |
| | В цилиндрической системе координат ($\,z$, $r$, $\alpha$) |
| уравнение (1) будет равносильно уравнениям | уравнение (1) будет равносильно уравнениям |
| $$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\alpha})- | $$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\alpha})- |
| $$\;A_{\alpha}=\frac{1}{2}B_{\alpha}r.$$ | $$\;A_{\alpha}=\frac{1}{2}B_{\alpha}r.$$ |
| |
| 1 в) В сферической системе координат ($\,R$,$\theta$,$\alpha$) | ==== 1 в) ==== |
| | В сферической системе координат ($\,R$,$\theta$,$\alpha$) |
| проекциями вектора $\,\vec{B}$ будут: | проекциями вектора $\,\vec{B}$ будут: |
| $$B_R=B\cos\theta\,,\qquad B_{\theta}=-B\sin\theta\,, | $$B_R=B\cos\theta\,,\qquad B_{\theta}=-B\sin\theta\,, |
| $$A_R=A_{\theta}=0\,,\qquad A_{\alpha}=\frac{1}{2}BR\sin\theta\,.$$ | $$A_R=A_{\theta}=0\,,\qquad A_{\alpha}=\frac{1}{2}BR\sin\theta\,.$$ |
| |
| 2) Будем решать задачу в цилиндрической системе | ==== 2) ==== |
| | Будем решать задачу в цилиндрической системе |
| координат. Пусть ток $\,J$ течет вдоль оси $\,Z$. Тогда из | координат. Пусть ток $\,J$ течет вдоль оси $\,Z$. Тогда из |
| уравнения (3) следует, что векторный потенциал можно выбрать направленным | уравнения (3) следует, что векторный потенциал можно выбрать направленным |
| \end{equation} | \end{equation} |
| 3десь положено $\;\mu=1$. Интегрируя уравнение (10), получаем | 3десь положено $\;\mu=1$. Интегрируя уравнение (10), получаем |
| $$A_z=-\frac{2J}{c}\ln r+\const\,.$$ | $$A_z=-\frac{2J}{c}\ln r+\text{const}\,.$$ |
| Константа произвольна. Можно приписать точкам произвольной | Константа произвольна. Можно приписать точкам произвольной |
| цилиндрической поверхности, соосной с током, нулевой | цилиндрической поверхности, соосной с током, нулевой |
| векторный потенциал. | векторный потенциал. |
| |
| 3) Кольцо с током радиуса $\,R_0$ расположено в плоскости $(X,Y)$. Найдем | ==== 3) ==== |
| \begin{wrapfigure}[7]{l}{3.5cm} | Кольцо с током радиуса $\,R_0$ расположено в плоскости $(X,Y)$. Найдем |
| \vspace{-15pt} | векторный потенциал в точке наблюдения, задаваемой радиус-вектором $\,\vec{R}$. |
| \includegraphics[width=3.5cm]{ris42.eps} | {{:electrodynamics:выделение_147.png?direct&200 |}} |
| \end{wrapfigure} | Для линейного тока выражение (4) запишется так: |
| векторный потенциал в точке наблюдения, задаваемой радиус-вектором $\,\vec{R}$. | |
| Для линейного тока выражение (4) запишется так: | |
| \begin{equation} | \begin{equation} |
| (11) \hspace{10pt} \vec{A}(\vec{R})=\frac{J}{c} | (11) \hspace{10pt} \vec{A}(\vec{R})=\frac{J}{c} |
| Направим ось $\,X$ перпендикулярно плоскости, в которой лежат | Направим ось $\,X$ перпендикулярно плоскости, в которой лежат |
| $\,Z$ и $\,\vec{R}$ (см. рисунок). На больших расстояниях | $\,Z$ и $\,\vec{R}$ (см. рисунок). На больших расстояниях |
| подынтегральное выражение~(11) можно представить так: | подынтегральное выражение (11) можно представить так: |
| $$\frac{1}{|\vec{R}-\vec{R}_0|}\approx\frac{1}{R}\bigg( | $$\frac{1}{|\vec{R}-\vec{R}_0|}\approx\frac{1}{R}\bigg( |
| 1+\frac{(\vec{R}\,\vec{R}_0)}{R^2}\bigg) | 1+\frac{(\vec{R}\,\vec{R}_0)}{R^2}\bigg) |
| где $\,\vec{n}_x$, $\vec{n}_y$ -- единичные векторы в | где $\,\vec{n}_x$, $\vec{n}_y$ -- единичные векторы в |
| направлении осей $\,X$, $Y$. | направлении осей $\,X$, $Y$. |
| При преобразовании | {{:electrodynamics:выделение_148.png?direct&200 |}} |
| \begin{wrapfigure}[9]{l}{3.5cm} | При преобразовании |
| \vspace{-10pt} | использованы равенства: |
| \includegraphics[width=3.0cm]{ris43.eps} | |
| \end{wrapfigure} | |
| использованы равенства: | |
| $$d\vec{\ell}=(-\vec{n}_x\sin\alpha+ | $$d\vec{\ell}=(-\vec{n}_x\sin\alpha+ |
| \vec{n}_y\cos\alpha)R_0\,d\alpha\,,$$ | \vec{n}_y\cos\alpha)R_0\,d\alpha\,,$$ |