| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |
| electrodynamics:res5.9 [2019/12/01 17:36] – root | electrodynamics:res5.9 [2019/12/01 17:43] (текущий) – root |
|---|
| ----- | ----- |
| |
| Пусть $\,\vec{M}_0$ -- вектор намагниченности. Уравнения, | Пусть $\,\vec{M}_0$ --- вектор намагниченности. Уравнения, описывающие распределение магнитного поля намагниченного шара в однородном магнитном поле, имеют вид $\text{rot}\vec{H}=0$, $\text{div} \vec{B}=0$, из которых следуют граничные условия |
| описывающие распределение магнитного поля намагниченного шара в однородном магнитном поле, имеют вид $\rot\vec{H}=0$, | $\,H_{1\tau}|=H_{2\tau}|;\;B_{1n}|=B_{2n}|$ (непрерывность тангенциальной составляющей напряженности магнитнго поля и |
| $\Div \vec{B}=0$, из которых следуют граничные условия | непрерывность нормальной составляющей магнитной индукции). |
| $\,H_{1\tau}|=H_{2\tau}|;\;B_{1n}|=B_{2n}|$ (непрерывность | Решением первого уравнения является функция $\,\vec{H}=-\text{grad} \,\psi$. Подставляя это решение во второе |
| тангенциальной составляющей напряженности магнитнго поля и | уравнение, получаем уравнение Лапласа для скалярного потенциала |
| непрерывность нормальной составляющей магнитной индукции). | |
| Решением первого уравнения является функция | |
| $\,\vec{H}=-\grad\,\psi$. Подставляя это решение во второе | |
| уравнение, | |
| получаем уравнение Лапласа для скалярного потенциала | |
| $\;\nabla^2\psi=0$. Таким образом, задача о магнитном шаре в | $\;\nabla^2\psi=0$. Таким образом, задача о магнитном шаре в |
| магнитном поле аналогична задаче о диэлектрическом шаре в | магнитном поле аналогична задаче о диэлектрическом шаре в |
| электрическом поле (см. 2.8a). Потенциал внутри шара будем | электрическом поле (см. [[res2.8a|2.8a]]). Потенциал внутри шара будем |
| искать в виде | искать в виде |
| $$\psi_1=-c_1(\vec{H}_0\,\vec{R})+ | $$\psi_1=-c_1(\vec{H}_0\,\vec{R})+ |
| b_1(\vec{M}_0\,\vec{R}) \qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$ | b_1(\vec{M}_0\,\vec{R}) \qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$ |
| Наличие второго слагаемого учитывает тот факт, что при | Наличие второго слагаемого учитывает тот факт, что при |
| снятии поля $\,\vec{H}_0$ в шаре остается поле, порождаемое | снятии поля $\,\vec{H}_0$ в шаре остается поле, порождаемое |
| собственной намагниченностью. Вне шара | собственной намагниченностью. Вне шара |
| $$\psi_2=-(\vec{H}_0\,\vec{R})+ | $$\psi_2=-(\vec{H}_0\,\vec{R})+ |
| \frac{1}{R^3}\Big[b_2(\vec{M}_0\,\vec{R})+ | \frac{1}{R^3}\Big[b_2(\vec{M}_0\,\vec{R})+ |
| \end{array} | \end{array} |
| \] | \] |
| где $\,\theta$ -- угол между направлением поля | где $\,\theta$ --- угол между направлением поля |
| $\,\vec{H}_0$ и радиус-вектором~~ $\,\vec{R}$ до точки наблюдения, а $\,\theta_1$ --- угол между направлением | $\,\vec{H}_0$ и радиус-вектором $\,\vec{R}$ до точки наблюдения, а $\,\theta_1$ --- угол между направлением |
| вектора намагниченности шара $\;\vec{M}_0$ и $\;\vec{R}_0$. | вектора намагниченности шара $\;\vec{M}_0$ и $\;\vec{R}_0$. |
| {{:electrodynamics:выделение_157.png?direct&200 |}} | {{:electrodynamics:выделение_157.png?direct&200 |}} |
| |
| Запишем условие непрерывности потенциала на поверхности | Запишем условие непрерывности потенциала на поверхности |
| шара $\;\psi_1(a)=\psi_2(a)$. Оно \, эквивалентно \, условию непрерывности | шара $\;\psi_1(a)=\psi_2(a)$. Оно эквивалентно условию непрерывности |
| тангенциальной \, составляющей \, магнитного \, | тангенциальной составляющей магнитного |
| поля $\;H_{1\tau}=H_{2\tau}$: | поля $\;H_{1\tau}=H_{2\tau}$: |
| $$\bigg(H_0a-c_1H_0a-\frac{b_3H_0}{a^2}\bigg)\cos\theta= | $$\bigg(H_0a-c_1H_0a-\frac{b_3H_0}{a^2}\bigg)\cos\theta= |
| $$\vec{B}_1=\mu_1\vec{H}_1+4\pi\vec{M}_0 | $$\vec{B}_1=\mu_1\vec{H}_1+4\pi\vec{M}_0 |
| \qquad \mbox{при}\qquad R < a,$$ | \qquad \mbox{при}\qquad R < a,$$ |
| где $\vec{M}_0$ -- постоянная, не зависящая от $\vec{H}$ | где $\vec{M}_0$ --- постоянная, не зависящая от $\vec{H}$ |
| намагниченность. Вне шара $\vec{B}_2\!=\!\mu_2\vec{H}_2$, тогда | намагниченность. Вне шара $\vec{B}_2\!=\!\mu_2\vec{H}_2$, тогда |
| $$B_{1R}=\mu_1\bigg(-\frac{\partial \psi_1}{\partial R}\bigg)+ | $$B_{1R}=\mu_1\bigg(-\frac{\partial \psi_1}{\partial R}\bigg)+ |
| \mu_2H_0\cos\theta+\frac{2\mu_2}{R^3}(b_2M_0\cos\theta_1+ | \mu_2H_0\cos\theta+\frac{2\mu_2}{R^3}(b_2M_0\cos\theta_1+ |
| H_0\cos\theta)\,.$$ | H_0\cos\theta)\,.$$ |
| Из условия непрерывности нормальной составляющей вектора | |
| | Из условия непрерывности нормальной составляющей вектора |
| $\,\vec{B}$ на поверхности шара $\;B_{1R}(a)=B_{2R}(a)$ | $\,\vec{B}$ на поверхности шара $\;B_{1R}(a)=B_{2R}(a)$ |
| получаем | получаем |
| При вычислении полей $\,\vec{H}_1$ и $\,\vec{H}_2$ | При вычислении полей $\,\vec{H}_1$ и $\,\vec{H}_2$ |
| использованы формулы векторного анализа | использованы формулы векторного анализа |
| $$\grad\,(\varphi_1\,\varphi_2)=\varphi_1\,\grad \,\varphi_2+ | $$\text{grad}\,(\varphi_1\,\varphi_2)=\varphi_1\,\text{grad} \,\varphi_2+ |
| \varphi_2\, \grad\,\varphi_1\,;$$ | \varphi_2\, \text{grad}\,\varphi_1\,;$$ |
| $$\grad\,(\vec{A}\,\vec{B})=[\vec{A}\times \rot\vec{B}]+ | $$\text{grad}\,(\vec{A}\,\vec{B})=[\vec{A}\times \text{rot}\vec{B}]+ |
| [\vec{B}\times \rot\vec{A}]+(\vec{A}\,\vec{\nabla})\vec{B}+ | [\vec{B}\times \text{rot}\vec{A}]+(\vec{A}\,\vec{\nabla})\vec{B}+ |
| (\vec{B}\,\vec{\nabla})\vec{A}$$ | (\vec{B}\,\vec{\nabla})\vec{A}$$ |
| и | и |
| $$\rot\vec{R}=\rot\vec{H}_0=\rot\vec{M}_0=0$$ | $$\text{rot}\vec{R}=\text{rot}\vec{H}_0=\text{rot}\vec{M}_0=0$$ |
| $$(\vec{H}_0\,\vec{\nabla})\vec{R}=\vec{H}_0\,,\qquad | $$(\vec{H}_0\,\vec{\nabla})\vec{R}=\vec{H}_0\,,\qquad |
| (\vec{R}\,\vec{\nabla})\vec{H}_0=0\,,$$ | (\vec{R}\,\vec{\nabla})\vec{H}_0=0\,,$$ |
| $$\grad\,\bigg(\frac{1}{R^3}\bigg)=-\frac{3\vec{R}}{R^5}\,.$$ | $$\text{grad}\,\bigg(\frac{1}{R^3}\bigg)=-\frac{3\vec{R}}{R^5}\,.$$ |
| Если шар предварительно не был намагничен ($\vec{M}_0=0$), то | Если шар предварительно не был намагничен ($\vec{M}_0=0$), то |
| \begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} |
| % \nonumber to remove numbering (before each equation) | \vec{H}_1&=&\frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\vec{H}_0\,,\\ |
| \vec{H}_1&=&\frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\vec{H}_0\,,\nonumber \\ | \vec{H}_2&=&\vec{H}_0+\vec{H}_\text{дип}\,, |
| \vec{H}_2&=&\vec{H}_0+\vec{H}_\text{дип}\,,\nonumber | \end{eqnarray} |
| \end{eqnarray} | где $\,\vec{H}_\text{дип}\,$ --- поле, создаваемое индуцированным |
| где $\,\vec{H}_\text{дип}\,$-- поле, создаваемое индуцированным | |
| магнитным моментом | магнитным моментом |
| $$\vec{m}=\frac{\mu_1-\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\,a^3\vec{H}_0\,.$$ | $$\vec{m}=\frac{\mu_1-\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\,a^3\vec{H}_0\,.$$ |
| |