Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res1.25 [2020/02/21 10:05] – root
+++ optics:res1.25 [2020/02/21 17:14] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-.25. {{:optics:выделение_177.png?direct&150 |}} Луч света падает на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной $d,$ под углом $\varphi ,$ большим угла полного внутреннего отражения. Найти интенсивность света, прошедшего через пластинку. Электрическое поле волны параллельно поверхности пластинки.
+.25. {{:optics:выделение_177.png?direct&150 |}} Луч света падает на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной $d,$ под углом $\alpha ,$ большим угла полного внутреннего отражения. Найти интенсивность света, прошедшего через пластинку. Электрическое поле волны параллельно поверхности пластинки.
 -----
 На границе раздела электрическое поле имеет только тангенциальную
-компоненту. Падающая волна $E_{0}\exp\left(i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$
+компоненту.
-отражённая $E_{1}\exp\left(-i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$
-прошедшая $E_{2}\exp\left(i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$.
+Падающая волна --- $E\exp\left(i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$
-В зазоре так же рассмотрим две волны: падающую $A_{1}\exp\left(i\vec{k}_{2}\vec{r}-i\omega t\right)$
-и отражённую $A_{2}\exp\left(i\vec{k}_{2}\vec{r}-i\omega t\right)$.
+отражённая --- $E_{1}\exp\left(-i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$
+прошедшая --- $E_{2}\exp\left(i\vec{k}_{1}\vec{r}-i\omega t\right)$.
+В зазоре так же рассмотрим две волны:
+падающую --- $A_{1}\exp\left(i\vec{k}_{2}\vec{r}-i\omega t\right)$
+и отражённую --- $A_{2}\exp\left(i\vec{k}_{2}\vec{r}-i\omega t\right)$.
 Запишем условие на границе для тангенциальных компонент полей. На
-верхней границе для электрического поля --- $E+E_{1}=A_{1}+A_{2}$,
+верхней границе для электрического поля
-для магнитного --- $\left(H+H_{1}\right)\cos\alpha=\left(B_{2}+B_{1}\right)\cos\beta$
+$$E+E_{1}=A_{1}+A_{2},$$
-в момент времени $t=0$ и принимая, что на границе $z=0$. На нижней
+для магнитного
-границе $z=d$, для электрического поля --- $A_{1}\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)+A_{2}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)=E_{2}$,
+$$\left(H+H_{1}\right)\cos\alpha=\left(B_{2}+B_{1}\right)\cos\beta $$
-для магнитного --- $\left(B\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)+B_{1}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)\right)\cos\beta=H_{2}\exp\left(ik_{1}\cos\alpha d\right)\cos\alpha$.
+в момент времени $t=0$ принимая, что на границе $z=0$. На нижней
+границе $z=d$ и для электрического поля выполнено:
+$$A_{1}\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)+A_{2}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)=E_{2},$$
+для магнитного:
+$$\left(B\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)+B_{1}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)\right)\cos\beta=H_{2}\exp\left(ik_{1}\cos\alpha d\right)\cos\alpha .$$
-Запишем магнитное поле через электрическое используя упрощение $\mu_{i}=1$:
+Запишем магнитное поле через электрическое используя упрощение $\mu_{i}=1:$
-$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega}{c}\vec{H}$,
+$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega}{c}\vec{H},$$
-запишем:
+тогда граничное условие для магнитного поля перепишем в виде:
+$$
+k_{1}\left(E-E_{1}\right)\cos\alpha=k_{2}\left(A-A_{1}\right)\cos\beta.
+$$
+Для второй границы
+$$
+k_{2}\left(A\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)-A_{1}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)\right)\cos\beta=k_{1}E_{2}\cos\left(k_{1}\cos\alpha d\right)\cos\beta.
+$$
-$k_{1}\left(E-E_{1}\right)\cos\alpha=k_{2}\left(A-A_{1}\right)\cos\beta.$
+Обратим внимание, что для волнового вектора справедливо
-Для второй границы $k_{2}\left(A\exp\left(ik_{2}\cos\beta d\right)-A_{1}\exp\left(-ik_{2}\cos\beta d\right)\right)\cos\beta=k_{1}E_{2}\cos\left(k_{1}\cos\alpha d\right)\cos\beta.$
+$$k_{1}\cos\alpha=k_{1z}=\sqrt{k_{1}^{2}-k_{1x}^{2}},$$
+$$k_{2}\cos\beta=k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{2x}^{2}},$$ а на границе
+для волнового вектора выполнено $k_{1x}=k_{2x}$. Следовательно
+$$k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1x}^{2}}.$$
-Обратим внимание, что $k_{1}\cos\alpha=k_{1z}=\sqrt{k_{1}^{2}-k_{1x}^{2}},$
+Перепишем полученную систему уравнений
-$k_{2}\cos\beta=k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{2x}^{2}}$, но на границе
-для волнового вектора справедливо $k_{1x}=k_{2x}$, тогда $k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1x}^{2}}$.
-Тогда из системы
 $$\left\{ \begin{array}{l}
@@ Строка 38: / Строка 56: @@
 \end{array}\right.$$
-составим матрицы из коэффициентов
+при помощи матрицы коэффициентов
 $$\left(\begin{array}{cccc|c}
@@ Строка 46: / Строка 64: @@
 e^{ik_{2z}d} & e^{-ik_{2z}d} & 0 & -1 & 0\\
 e^{ik_{2z}d}k_{2z} & -e^{-ik_{2z}d}k_{2z} & 0 & -k_{1z} & 0
-\end{array}\right)=$$
+\end{array}\right)$$
-$$\begin{array}{ccccc}
+для удобства введя переобозначения:
-A & A_{1} & E_{1} & E_{2}\\
+$$\left(\begin{array}{cccc|c}
+A & A_{1} & E_{1} & E_{2}\\ \hline
 & 1 & -1 & 0 & E\\
 x & -x & y & 0 & Ey\\
 t & t^{-1} & 0 & -1 & 0\\
 xt & -xt^{-1} & 0 & -y & 0
-\end{array}$$
+\end{array}\right).$$
+Для вычисления $E_2$ найдём два определителя:
-$\left|\begin{array}{ccccc}
+$$
-A & A_{1} & E_{1} & E_{2}\\
+\Delta=\left|\begin{array}{cccc}
-& 1 & -1 & 0 & E\\
-x & -x & y & 0 & Ey\\
-t & t^{-1} & 0 & -1 & 0\\
-xt & -xt^{-1} & 0 & -y & 0
-\end{array}\right|\to\Delta=\left|\begin{array}{ccccc}
-\\
 & 1 & -1 & 0\\
 x & -x & y & 0\\
 t & t^{-1} & 0 & -1\\
 xt & -xt^{-1} & 0 & -y
-\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}
+\end{array}\right|=
-\\
+$$
+$$
+\left|\begin{array}{ccc}
 & 1 & -1\\
 x & -x & y\\
-\\
 xt & -xt^{-1} & 0
-\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{ccccc}
+\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{ccc}
-\\
 & 1 & -1\\
 x & -x & y\\
 t & t^{-1} & 0\\
-\\
+\end{array}\right|=$$
-\end{array}\right|=$
+$$(x^{2}t^{-1}+yxt)-(x^{2}t-xyt^{-1})-y(-xt^{-1}+yt-xt-yt^{-1})=
+$$
-$(x^{2}t^{-1}+yxt)-(x^{2}t-xyt^{-1})-y(-xt^{-1}+yt-xt-yt^{-1})=(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)$
+$$(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)
+$$
-найдём второй коэффициент
+и заменяя последний столбец, найдём второй определитель
+$$
-$\left|\begin{array}{ccccc}
+\Delta_{4}=\left|\begin{array}{cccc}
-A & A_{1} & E_{1} & E_{2}\\
-& 1 & -1 & 0 & E\\
-x & -x & y & 0 & Ey\\
-t & t^{-1} & 0 & -1 & 0\\
-xt & -xt^{-1} & 0 & -y & 0
-\end{array}\right|\to\Delta_{4}=\left|\begin{array}{ccccc}
-\\
 & 1 & -1 & E\\
 x & -x & y & Ey\\
 t & t^{-1} & 0 & 0\\
 xt & -xt^{-1} & 0 & 0
-\end{array}\right|=-E\left|\begin{array}{ccccc}
+\end{array}\right|=
-\\
+$$
-\\
+$$-E\left|\begin{array}{ccc}
 x & -x & y\\
 t & t^{-1} & 0\\
 xt & -xt^{-1} & 0
-\end{array}\right|+Ey\left|\begin{array}{ccccc}
+\end{array}\right|+Ey\left|\begin{array}{ccc}
-\\
 & 1 & -1\\
-\\
 t & t^{-1} & 0\\
 xt & -xt^{-1} & 0
-\end{array}\right|=4Eyx$
+\end{array}\right|=4Eyx .
+$$
 Таким образом
+$$
-$E_{2}=\frac{\Delta_{4}}{\Delta}=\frac{4Eyx}{(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)}=\frac{4Ek_{2z}k_{1z}}{(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})(e^{-ik_{2z}d}-e^{ik_{2z}d})+2k_{2z}k_{1z}(e^{-ik_{2z}d}+e^{ik_{2z}d})}$
+E_{2}=\frac{\Delta_{4}}{\Delta}=\frac{4Eyx}{(x^{2}+y^{2})(t^{-1}-t)+2xy(t^{-1}+t)}=
+$$
-$=\frac{2Ek_{2z}k_{1z}}{2k_{2z}k_{1z}\cos\left(k_{2z}d\right)-i(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})\sin\left(k_{2z}d\right)}$
+$$
+\frac{4Ek_{2z}k_{1z}}{(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})(e^{-ik_{2z}d}-e^{ik_{2z}d})+2k_{2z}k_{1z}(e^{-ik_{2z}d}+e^{ik_{2z}d})}=
-вспомним, что $k_{1x}=k_{1}\sin\alpha=\frac{\omega}{c}n_{1}\sin\alpha,$
+$$
-$k_{1z}=\frac{\omega}{c}n_{1}\cos\alpha$ и $k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1x}^{2}}=\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha},$
+$$\frac{2Ek_{2z}k_{1z}}{2k_{2z}k_{1z}\cos\left(k_{2z}d\right)-i(k_{2z}^{2}+k_{1z}^{2})\sin\left(k_{2z}d\right)}.$$
-но при полном внутреннем отражении $n_{2}<n_{1}\sin\alpha,$ тогда
+вспомним, что
-$k_{2z}=\pm i\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha-n_{2}^{2}}=\pm i\varkappa$.
+$$k_{1x}=k_{1}\sin\alpha=\frac{\omega}{c}n_{1}\sin\alpha,$$
+$$k_{1z}=\frac{\omega}{c}n_{1}\cos\alpha$$ и
+$$k_{2z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1x}^{2}}=\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha},$$
+но при полном внутреннем отражении выполнено
+$$n_{2}<n_{1}\sin\alpha,$$
+тогда
+$$k_{2z}=\pm i\frac{\omega}{c}\sqrt{n_{1}^{2}\sin^{2}\alpha-n_{2}^{2}}=\pm i\varkappa .$$
 В этом случае выражение для поля
+$$
-$E_{2}=\frac{i2E\varkappa k_{1z}}{2k_{2z}i\varkappa\cosh\left(\varkappa d\right)-(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})\sinh\left(k_{2z}d\right)}$,
+E_{2}=\frac{i2E\varkappa k_{1z}}{2k_{2z}i\varkappa\cosh\left(\varkappa d\right)-(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})\sinh\left(\varkappa d\right)},$$
 тогда коэффициент прохождения:
+$$
+\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}=
+$$
+$$\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}.$$
-$\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(k_{2z}d\right)}=\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(k_{2z}d\right)}$
+/* Окончательно:
-окончательно:
-$\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(k_{2z}d\right)}=\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(k_{2z}d\right)}$
+$$\rho=\frac{|E_{2}|^{2}}{E^{2}}=\frac{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}}{4\varkappa^{2}k_{1z}^{2}\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+(k_{1z}^{2}-\varkappa^{2})^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}=$$
+$$\frac{1}{\cosh^{2}\left(\varkappa d\right)+\left(\frac{k_{1z}^{2}-\varkappa^{2}}{2\varkappa k_{1z}}\right)^{2}\sinh^{2}\left(\varkappa d\right)}.$$
+*/