optics:res2.13

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
optics:res2.13 [2020/02/23 12:20] – rootoptics:res2.13 [2020/02/23 12:30] (текущий) – root
Строка 4: Строка 4:
  
 ----- -----
-Рассмотрим дисперсию \textemdash{} зависимость частоты от волнового+Рассмотрим дисперсию --- зависимость частоты от волнового
 вектора, разлагая в ряд: вектора, разлагая в ряд:
  
-$\omega\left(k\right)\approx\omega_{0}+\left.\frac{\partial\omega}{\partial k}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2}\left.\frac{\partial^{2}\omega}{\partial k^{2}}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)^{2}=\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}$+$$\omega\left(k\right)\approx\omega_{0}+\left.\frac{\partial\omega}{\partial k}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2}\left.\frac{\partial^{2}\omega}{\partial k^{2}}\right|_{k=k_{0}}\left(k-k_{0}\right)^{2}=\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}.$$
  
 Волновой пакет выразится интегралом Волновой пакет выразится интегралом
  
-$E\left(z,t\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}a(k)e^{i\left(kz-\omega t\right)}\,dk=a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\alpha\left(k-k_{0}\right)^{2}+i\left(kz-\omega t\right)\right)\,dk=$ +$$ 
- +E\left(z,t\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}a(k)e^{i\left(kz-\omega t\right)}\,dk=a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\alpha\left(k-k_{0}\right)^{2}+i\left(kz-\omega t\right)\right)\,dk= 
-$a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\alpha\Delta k^{2}+ikz-i\left(\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}\right)t\right)\,dk=$ +$$ 
- +$$ 
-как и в задаче 2.10 сделаем замену переменных переходя к полному квадрату: +a_{0}\intop_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\alpha\Delta k^{2}+ikz-i\left(\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}\right)t\right)\,dk. 
- +$$
-$\alpha\Delta k^{2}-ikz+i\left(\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}\right)t=\left(\alpha+i\beta t\right)\Delta k^{2}+i\left(ut-z\right)\Delta k-ik_{0}z+i\omega_{0}t=$ +
- +
-$\gamma^{2}\Delta k^{2}+i\delta\Delta k-ik_{0}z+i\omega_{0}t=\left(\gamma\Delta k+i\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}+\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}-ik_{0}z+i\omega_{0}t=$ +
- +
-$=\lambda^{2}+\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}-ik_{0}z+i\omega_{0}t$+
  
 +Как и в [[res2.10|задаче 2.10]] сделаем замену переменных переходя к полному квадрату:
 +$$
 +\alpha\Delta k^{2}-ikz+i\left(\omega_{0}+u\Delta k+\beta\Delta k^{2}\right)t=
 +$$
 +$$\left(\alpha+i\beta t\right)\Delta k^{2}+i\left(ut-z\right)\Delta k-ik_{0}z+i\omega_{0}t=
 +$$
 +$$
 +\gamma^{2}\Delta k^{2}+i\delta\Delta k-ik_{0}z+i\omega_{0}t=\left(\gamma\Delta k+i\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}+\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}-ik_{0}z+i\omega_{0}t=
 +$$
 +$$
 +\lambda^{2}+\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}-ik_{0}z+i\omega_{0}t,
 +$$
 тогда, с учётом $dk=\frac{1}{\gamma}\,d\lambda$ перепишем интеграл тогда, с учётом $dk=\frac{1}{\gamma}\,d\lambda$ перепишем интеграл
- +$$ 
-$E\left(z,t\right)=\frac{a_{0}}{\gamma}\exp\left(-\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}+ik_{0}z-i\omega_{0}t\right)\,\intop_{-\infty}^{\infty}e^{-\lambda^{2}}\,d\lambda$ +E\left(z,t\right)=\frac{a_{0}}{\gamma}\exp\left(-\left(\frac{\delta}{2\gamma}\right)^{2}+ik_{0}z-i\omega_{0}t\right)\,\intop_{-\infty}^{\infty}e^{-\lambda^{2}}\,d\lambda 
 +$$
 тогда тогда
 +$$
 +E\left(z,t\right)=a_{0}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha+i\beta t}}\exp\left(-\left(\frac{ut-z}{2\left(\alpha+i\beta t\right)}\right)^{2}+i\left(k_{0}z-\omega_{0}t\right)\right)
 +.$$
  
-$E\left(z,t\right)=a_{0}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha+i\beta t}}\exp\left(-\left(\frac{ut-z}{2\left(\alpha+i\beta t\right)}\right)^{2}+i\left(k_{0}z-\omega_{0}t\right)\right)$ +Таким образом можно представить, что пакет с одной стороны имеет фазовую скорость
- +
-Таким образом можно представить, что пакет движется с фазовой скоростью+
 $v=\frac{\omega_{0}}{k_{0}}$, за это отвечает множитель $e^{i\left(k_{0}z-\omega_{0}t\right)}$ $v=\frac{\omega_{0}}{k_{0}}$, за это отвечает множитель $e^{i\left(k_{0}z-\omega_{0}t\right)}$
 и, при этом, у волны имеется комплексная амплитуда и, при этом, у волны имеется комплексная амплитуда
- +$$ 
-$a_{0}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha+i\beta t}}\exp\left(-\left(\frac{ut-z}{2\left(\alpha+i\beta t\right)}\right)^{2}\right)$ +a_{0}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha+i\beta t}}\exp\left(-\left(\frac{ut-z}{2\left(\alpha+i\beta t\right)}\right)^{2}\right) 
 +.$$
 Модуль амплитуды: Модуль амплитуды:
- +$$ 
-$|E\left(z,t\right)|=a_{0}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt[4]{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}}\exp\left(-\frac{\left(ut-z\right)^{2}}{2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}\right)}\right)$+|E\left(z,t\right)|=a_{0}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt[4]{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}}\exp\left(-\frac{\left(ut-z\right)^{2}}{2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}\right)}\right) 
 +$$
 передвигается уже с групповой скоростью $u$, так как экспонента в передвигается уже с групповой скоростью $u$, так как экспонента в
 модуле имеет максимум при $ut-z=0.$ модуле имеет максимум при $ut-z=0.$
  
-В итоге мы видим, что амплитуда максимума падает со временем как $a_{0}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt[4]{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}}$, +В итоге мы видим, что амплитуда максимума падает со временем как  
-а полуширина кривой Гаусса увеличивается как $2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}\right)$ +$$a_{0}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt[4]{\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}}},$$ 
-\textemdash{} происходит размывание пакета.+а полуширина кривой Гаусса увеличивается как  
 +$$\sqrt{2\left(\alpha^{2}+\beta^{2}t^{2}\right)}$$ 
 +--- происходит размывание пакета.