Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res3.1 [2020/03/22 10:35] – создано root
+++ optics:res3.1 [2020/04/08 17:04] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+{{:optics:выделение_212.png?direct&150 |}}3.1. Два узких щелевых монохроматических источника света (длина волны $\lambda $) расположены на расстоянии
+$L$ от экрана и на расстоянии $2d$ друг от друга. Найти расстояние между полосами на экране.
+-----
 Считаем, что свет от источников когерентный. Рассмотрим интенсивность
 падающего на экран света:
+$$I\sim E^{2}=\left|E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right|^{2}=$$
-$I\sim E^{2}=\left|E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right|^{2}=\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)^{*}=$
+$$
+\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)^{*}=$$
-$\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{-i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{-i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)=$
+$$\left(E_{1}e^{i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)\left(E_{1}e^{-i\left(kl_{1}-\omega t\right)}+E_{2}e^{-i\left(kl_{2}-\omega t\right)}\right)=$$
+$$E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+E_{1}E_{2}\left(e^{ik\left(l_{1}-l_{2}\right)}+e^{ik\left(l_{2}-l_{1}\right)}\right)=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)$$
-$E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+E_{1}E_{2}\left(e^{ik\left(l_{1}-l_{2}\right)}+e^{ik\left(l_{2}-l_{1}\right)}\right)=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)$
 или
+$$I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right).$$
-$I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)$.
 Найдём разность расстояний пройденных лучами от щелей до экрана:
-$l_{1}^{2}=L^{2}+(x-d)^{2}=L^{2}+x^{2}+d^{2}-2xd$,
+$$l_{1}^{2}=L^{2}+(x-d)^{2}=L^{2}+x^{2}+d^{2}-2xd,$$
-$l_{2}^{2}=L^{2}+(x+d)^{2}=L^{2}+x^{2}+d^{2}+2xd$,
+$$l_{2}^{2}=L^{2}+(x+d)^{2}=L^{2}+x^{2}+d^{2}+2xd,$$
 тогда, при условии, что $x,\,d\ll L$
-$l_{2}-l_{1}=\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}+2xd}-\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}-2xd}\approx$
+$$l_{2}-l_{1}=\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}+2xd}-\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}-2xd}\approx$$
-$\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}}\left(1+\frac{xd}{L^{2}+x^{2}+d^{2}}\right)-\sqrt{L^{2}+x^{2}+d^{2}}\left(1-\frac{xd}{L^{2}+x^{2}+d^{2}}\right)\approx\frac{2xd}{L}.$
+$$L\left(1+\frac{x^{2}+d^{2}}{2L^2}+\frac{xd}{L^2}\right)-L\left(1+\frac{x^{2}+d^{2}}{2L^2}-\frac{xd}{L^2}\right)\approx\frac{2xd}{L}.$$
 Если $I_{1}=I_{2}=I_{0},$ то интенсивность можно записать в виде:
-$I=2I_{0}\left(1+\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)\right)=2I_{0}\left(1+\cos\frac{2kxd}{L}\right)$
+$$I=2I_{0}\left(1+\cos k\left(l_{1}-l_{2}\right)\right)=2I_{0}\left(1+\cos\frac{2kxd}{L}\right)$$
 с учётом тригонометрического соотношения $2\cos^{2}\alpha=1+\cos2\alpha$:
-$I=4I_{0}\cos^{2}\frac{kxd}{L}$
+$$I=4I_{0}\cos^{2}\frac{kxd}{L}.$$
-Расстояние между полосами \textemdash{} это расстояние, например,
+Расстояние между полосами --- это расстояние, например,
 между максимумами интенсивности, а максимумы будут при
-$\cos^{2}\frac{kxd}{L}=1$, т.е. при $\frac{kx_{m}d}{L}=\pi m,$ тогда
+$$\cos^{2}\frac{kxd}{L}=1,$$
+т.е. при
-$\Delta x=x_{m+1}-x_{m}=\frac{\pi L}{kd}=\frac{\lambda L}{2d}$
+$$\frac{kx_{m}d}{L}=\pi m,$$
+тогда
+$$\Delta x=x_{m+1}-x_{m}=\frac{\pi L}{kd}=\frac{\lambda L}{2d}.$$