Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res4.18 [2020/05/14 11:41] – создано root
+++ optics:res4.18 [2020/05/15 15:15] (текущий) – [б)] root
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 -----
-{{:optics:выделение_277.png?400 |}} Пусть частица вращается в плоскости $XY$ , а направление на точку
+{{:optics:выделение_277.png?250 |}} Пусть частица вращается в плоскости $XY$ , а направление на точку
-$Z$ наблюдения поля выберем в плоскости $YZ.$ \pause Вторую производную от дипольного
+$Z$ наблюдения поля выберем в плоскости $YZ.$ Вторую производную от дипольного
 момента $p=qr_{0}$ вращающейся частицы можно записать в виде
 $$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t,$$
@@ Строка 10: / Строка 10: @@
 $$\ddot{p}_{z}=0.$$
 Тогда интенсивность излучения в телесный угол
-$$\frac{dI}{d\Omega}=\frac{cH^{2}}{4\pi}r^{2}\pause=\frac{1}{4\pi c^{3}}\left(\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]\right)^{2}\pause=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}.$$
+$$\frac{dI}{d\Omega}=\frac{cH^{2}}{4\pi}r^{2}=\frac{1}{4\pi c^{3}}\left(\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]\right)^{2}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}.$$
-$$\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\pause=\left|\begin{array}{ccc}
+$$\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]=\left|\begin{array}{ccc}
 \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
 p_{x} & p_{y} & 0\\
 n_{x} & n_{y} & n_{z}
-\end{array}\right|\pause=p_{0}\left|\begin{array}{ccc}
+\end{array}\right|=p_{0}\left|\begin{array}{ccc}
 \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
 \cos\omega t & \sin\omega t & 0\\
 & \sin\theta & \cos\theta
-\end{array}\right|=$$\pause
+\end{array}\right|=$$
 $$
 p_{0}\left(\vec{i}\cos\theta\sin\omega t-\vec{j}\cos\theta\cos\omega t+\vec{k}\sin\theta\cos\omega t\right).$$
 Для квадрата модуля:
-$$\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}\pause=p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta\sin^{2}\omega t+\cos^{2}\theta\cos^{2}\omega t+\sin^{2}\theta\cos^{2}\omega t\right)\pause=$$
+$$\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}=p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta\sin^{2}\omega t+\cos^{2}\theta\cos^{2}\omega t+\sin^{2}\theta\cos^{2}\omega t\right)=$$
 $$
-p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\cos^{2}\omega t\right)$$\pause
+p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\cos^{2}\omega t\right)$$
-Если теперь усреднить по времени за один период\pause, то
+Если теперь усреднить по времени за один период, то
-$$\overline{\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}}=p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\overline{\cos^{2}\omega t}\right)=$$\pause
+$$\overline{\left(\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]\right)^{2}}=p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\overline{\cos^{2}\omega t}\right)=$$
 $$
-p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\right)\pause=\frac{1}{2}p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+1\right).$$
+p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\right)=\frac{1}{2}p_{0}^{2}\left(\cos^{2}\theta+1\right).$$
 В итоге
-$$\frac{\overline{dI}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{8\pi c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right).$$\pause
+$$\frac{\overline{dI}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{8\pi c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right).$$
-Осталось проинтегрировать \pause
+Осталось проинтегрировать
-$$\overline{I}=\intop_{0}^{\pi}\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right)\sin\theta d\theta\pause=-\intop_{0}^{\pi}\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right)d\cos\theta=$$\pause
+$$\overline{I}=\intop_{0}^{\pi}\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right)\sin\theta d\theta=-\intop_{0}^{\pi}\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\cos^{2}\theta+1\right)d\cos\theta=$$
-$$-\left.\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\frac{\cos^{3}\theta}{3}+\cos\theta\right)\right|_{0}^{\pi}\pause=\frac{2\omega^{4}q^{2}a^{2}}{3c^{3}}.$$
+$$-\left.\frac{\omega^{4}q^{2}a^{2}}{4c^{3}}\left(\frac{\cos^{3}\theta}{3}+\cos\theta\right)\right|_{0}^{\pi}=\frac{2\omega^{4}q^{2}a^{2}}{3c^{3}}.$$
+===== б) =====
+Для определения поляризации необходимо найти значение поля. Магнитное
+поле в нашем случае выражается формулой
+$$\vec{H}=\frac{1}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right]$$
+$$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t=-\omega^{2}p_{x},$$
+$$\ddot{p}_{y}=-\omega^{2}qa\sin\omega t=-\omega^{2}p_{y},$$
+$$\ddot{p}_{z}=0.$$
+Мы уже вычисляли:
+$$\left[\vec{p}\times\vec{n}\right]=\left|\begin{array}{ccc}
+\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
+p_{x} & p_{y} & 0\\
+n_{x} & n_{y} & n_{z}
+\end{array}\right|=p_{0}\left|\begin{array}{ccc}
+\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
+\cos\omega t & \sin\omega t & 0\\
+& \sin\theta & \cos\theta
+\end{array}\right|=$$
+$$p_{0}\left(\vec{i}\cos\theta\sin\omega t-\vec{j}\cos\theta\cos\omega t+\vec{k}\sin\theta\cos\omega t\right),$$
+тогда
+$$H_{x}=-\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\cos\theta\sin\omega t,$$
+$$H_{y}=\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\cos\theta\cos\omega t,$$
+$$H_{z}=-\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}\sin\theta\cos\omega t.$$
+Для определения поляризации необходимо вычислить магнитное поле в локальной сферической системе координат,  т.е. найти компоненты $H_{r},\,H_{\theta},\,H_{\varphi}$:
+$$H_{r}=H_{z}\cos\theta+H_{y}\sin\theta=H_0\left(-\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\right)=0,$$
+$$H_{\theta}=H_{y}\cos\theta-H_{z}\sin\theta=H_0\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\right)\cos\omega t=H_0\cos\omega t,$$
+$$H_{\varphi}=-H_{x}=H_0\cos\theta\sin\omega t,$$
+где $H_0=\frac{\omega^{2}qa}{c^2r}.$ Тогда эти компоненты связаны соотношением:
+$$\left(\frac{H_{\theta}}{H_0}\right)^{2}+\left(\frac{H_{\varphi}}{H_0\cos\theta}\right)^{2}=1$$
+В общем случае поляризация эллиптическая, но при $\theta=0;\pi$ ---
+круговая, а при $\theta=\frac{\pi}{2}$ --- линейная.