Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- optics:res4.41 [2020/05/16 14:38] – создано root
+++ optics:res4.41 [2020/05/16 14:46] (текущий) – root
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 противоположных концах. Раз заряды одинаковые, то дипольный момент:
-$$\vec{d}=\vec{r}_{1}q_{1}+\vec{r}_{2}q_{2}\pause=q\left(\vec{r}_{1}+\vec{r}_{2}\right)\pause=q\left(\left(\vec{r}+\vec{a}\right)+\left(\vec{r}-\vec{a}\right)\right)\pause=2q\vec{r},$$
+$$\vec{d}=\vec{r}_{1}q_{1}+\vec{r}_{2}q_{2}=q\left(\vec{r}_{1}+\vec{r}_{2}\right)=q\left(\left(\vec{r}+\vec{a}\right)+\left(\vec{r}-\vec{a}\right)\right)=2q\vec{r},$$
-где $\vec{r}_{i}=\vec{r}+\epsilon_{i}\vec{a}$ \pause и $\vec{r}$ \textemdash{}
+где $\vec{r}_{i}=\vec{r}+\epsilon_{i}\vec{a}$  и $\vec{r}$ ---
-радиус вектор центра орбиты, \pause а $\vec{a}$ \textemdash{} радиус\textendash вектор
+радиус--вектор центра орбиты,а $\vec{a}$ --- радиус--вектор
-первого заряда \pause и $-\vec{a}$ \textemdash{} радиус\textendash вектор
+первого заряда и $-\vec{a}$ --- радиус--вектор
 второго заряда относительно центра орбиты.
-\pause
 Тогда вторая производная
 $\ddot{\vec{d}}=2q\ddot{\vec{r}}=0$, следовательно электрического
 дипольного излучения  нет.
-Магнитный момент \pause
+Магнитный момент
-$$\vec{m}=\frac{1}{2c}\sum\left[\vec{r}_{i}\times q_{i}\vec{v_{i}}\right]\pause=\frac{1}{2c}\left(\left[\vec{a}_{1}\times q\vec{v}_{1}\right]+\left[\vec{a}_{2}\times q\vec{v}_{2}\right]\right)=$$\pause
+$$\vec{m}=\frac{1}{2c}\sum\left[\vec{r}_{i}\times q_{i}\vec{v_{i}}\right]=\frac{1}{2c}\left(\left[\vec{a}_{1}\times q\vec{v}_{1}\right]+\left[\vec{a}_{2}\times q\vec{v}_{2}\right]\right)=$$
 $$
-\frac{1}{2c}\left(\left[\vec{a}_{1}\times q\vec{v}_{1}\right]+\left[-\vec{a}_{1}\times q\left(-\vec{v}_{1}\right)\right]\right)=$$\pause
+\frac{1}{2c}\left(\left[\vec{a}_{1}\times q\vec{v}_{1}\right]+\left[-\vec{a}_{1}\times q\left(-\vec{v}_{1}\right)\right]\right)=$$
-$$\frac{1}{c}\left(\left[\vec{a}_{1}\times q\vec{v}_{1}\right]\right)=\pause\frac{\vec{e}_{z}}{c}qa^{2}\omega$$\pause
+$$\frac{1}{c}\left(\left[\vec{a}_{1}\times q\vec{v}_{1}\right]\right)=\frac{\vec{e}_{z}}{c}qa^{2}\omega$$
-\textemdash{} тоже постоянный, так что $\ddot{\vec{m}}=0$.
+--- тоже постоянный, так что $\ddot{\vec{m}}=0$.
-Смотрим следующие порядки разложения \textemdash{} квадрупольный. \pause
+Смотрим следующие порядки разложения --- квадрупольный.
 Вспоминаем $$D_{\mu\nu}=\sum\limits _{k}q_{k}\left(3x_{\mu}^{\prime k}x_{\nu}^{\prime k}-r_{k}^{\prime2}\delta_{\mu\nu}\right)$$
-\textemdash{} квадрупольную матрицу. \pause С учётом движения зарядов и зависимости
+--- квадрупольную матрицу.  С учётом движения зарядов и зависимости
 их координат от времени:
-$$x_{1;2}=\pm a\cos\omega t,$$ \pause $$y_{1;2}=\pm a\sin\omega t$$ \pause
+$$x_{1;2}=\pm a\cos\omega t,$$  $$y_{1;2}=\pm a\sin\omega t$$
 найдем компоненты:
-Из $$D_{\mu\nu}=\sum\limits _{k}q_{k}\left(3x_{\mu}^{\prime k}x_{\nu}^{\prime k}-r_{k}^{\prime2}\delta_{\mu\nu}\right)$$
+$${D}_{xx}=2qa^{2}\left(3\cos^{2}\omega t-1\right)e=qa^{2}\left(3\left(\cos2\omega t+1\right)-2\right)=qa^{2}\left(3\cos2\omega t+1\right)$$
-получаем
+$$D_{yy}=2qa^{2}\left(3\sin^{2}\omega t-1\right)=qa^{2}\left(3\left(1-\cos2\omega t\right)-2\right)=qa^{2}\left(1-3\cos2\omega t\right)$$
-$${D}_{xx}=2qa^{2}\left(3\cos^{2}\omega t-1\right)\pause=qa^{2}\left(3\left(\cos2\omega t+1\right)-2\right)\pause=qa^{2}\left(3\cos2\omega t+1\right)$$\pause
-$$D_{yy}=2qa^{2}\left(3\sin^{2}\omega t-1\right)\pause=qa^{2}\left(3\left(1-\cos2\omega t\right)-2\right)\pause=qa^{2}\left(1-3\cos2\omega t\right)$$
-\pause
 $$D_{zz}=-2qa^{2}$$
-\pause
+$$D_{xy}=6qa^{2}\cos\omega t\sin\omega t=3qa^{2}\sin2\omega t=D_{yx}$$
-$$D_{xy}=6qa^{2}\cos\omega t\sin\omega t\pause=3qa^{2}\sin2\omega t\pause=D_{yx}$$
-\pause
 $$D_{xz}=D_{yz}=0$$
 Так магнитное поле в волновой зоне связано с третьей производной
-$$\vec{H}=\frac{1}{6c^{3}r}\left[\dddot{\vec{D}}\times n\right],$$\pause
+$$\vec{H}=\frac{1}{6c^{3}r}\left[\dddot{\vec{D}}\times n\right],$$
 где ввели вектор $$\vec{D}=\left(D_{x},D_{y},D_{z}\right)$$ сверткой
-с вектором $\vec{n}$ в виде $$D_{\mu}={\sum_{\nu}}D_{\mu\nu}n_{\nu}$$\pause
+с вектором $\vec{n}$ в виде $$D_{\mu}={\sum_{\nu}}D_{\mu\nu}n_{\nu}$$
 так, что $$D_{x}=D_{xx}n_{x}+D_{xy}n_{y},$$ $$D_{y}=D_{yx}n_{x}+D_{yy}n_{y},$$
 $$D_{z}=D_{zz}n_{z}.$$
 Тогда ненулевые компоненты:
 $$\dddot{D}_{xx}=3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\sin2\omega t$$
-\pause
+$$\dddot{D}_{yy}=-3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\sin2\omega t$$
-$$D_{yy}=-3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\sin2\omega t$$
+$$\dddot{D}_{xy}=3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\cos2\omega t$$
-\pause
-$$D_{xy}=3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\cos2\omega t$$
-\pause
 и соответствующие вектора:
-$$D_{x}=3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\left(\sin2\omega t\cos\alpha+\cos2\omega t\sin\alpha\right)\sin\theta=$$\pause
+$$\dddot{D}_{x}=3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\left(\sin2\omega t\cos\alpha+\cos2\omega t\sin\alpha\right)\sin\theta=$$
 $$3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\sin\left(2\omega t+\alpha\right)\sin\theta=24\omega{}^{3}qa^{2}\sin\phi\sin\theta,
-$$\pause
+$$
-$$D_{y}=3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\left(\cos2\omega t\cos\alpha-\sin2\omega t\sin\alpha\right)\sin\theta=$$\pause
+$$\dddot{D}_{y}=3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\left(\cos2\omega t\cos\alpha-\sin2\omega t\sin\alpha\right)\sin\theta=$$
 $$3\cdot(2\omega)^{3}qa^{2}\cos\left(2\omega t+\alpha\right)\sin\theta=24\omega{}^{3}qa^{2}\cos\phi\sin\theta.$$
-Если перейти к выбору координат как в задаче 4.18. при вычислении
+Если перейти к выбору координат как в [[res4.18|задаче 4.18.]] при вычислении
-излучения от диполя, то сравнивая $$\vec{H}=\frac{1}{6c^{3}r}\left[\dddot{\vec{D}}\times n\right]$$\pause
+излучения от диполя, то сравнивая $$\vec{H}=\frac{1}{6c^{3}r}\left[\dddot{\vec{D}}\times n\right]$$
-и $$\vec{H}=\frac{1}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right],$$\pause
+и $$\vec{H}=\frac{1}{c^{2}r}\left[\ddot{\vec{p}}\times\vec{n}\right],$$
-с одно стороны и $$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t,$$\pause $$\ddot{p}_{y}=-\omega^{2}qa\sin\omega t$$\pause
+с одно стороны и $$\ddot{p}_{x}=-\omega^{2}qa\cos\omega t,$$
-с другой, воспользуемся полученным результатом и запишем: \pause
+$$\ddot{p}_{y}=-\omega^{2}qa\sin\omega t$$
-$$H_{x}=\frac{4\omega^{3}qa^{2}}{c^{3}r}\sin\theta\cos\theta\sin\phi=H_{0}\sin\theta\cos\theta\sin\phi$$\pause
+с другой, воспользуемся полученным результатом и запишем:
+$$H_{x}=\frac{4\omega^{3}qa^{2}}{c^{3}r}\sin\theta\cos\theta\sin\phi=H_{0}\sin\theta\cos\theta\sin\phi$$
 $$H_{y}=\frac{4\omega^{3}qa^{2}}{c^{3}r}\sin\theta\cos\theta\cos\phi=H_{0}\sin\theta\cos\theta\cos\phi$$
 $$H_{z}=\frac{4\omega^{3}qa^{2}}{c^{3}r}\sin^{2}\theta\cos\phi=H_{0}\sin^{2}\theta\cos\phi .$$
-\pause
 Ну и совершенно аналогично переходя к полям в сферической системе
 координат получим:
-\pause
 $$\left(\frac{H_{\theta}}{H_{0}\sin\theta}\right)^{2}+\left(\frac{H_{\varphi}}{H_{0}\sin\theta\cos\theta}\right)^{2}=1.$$
-\pause
 Осталось найти полную интенсивность излучения:
-\pause
+$$\overline{\frac{dI}{d\Omega}}=\frac{cr^{2}}{4\pi}\left|\overrightarrow{H}\right|^{2}=\frac{cr^{2}H_{0}^{2}}{4\pi}\left(\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta+\sin^{4}\theta\overline{\cos^{2}\phi}\right)=$$
-$$\overline{\frac{dI}{d\Omega}}=\pause\frac{cr^{2}}{4\pi}\left|\overrightarrow{H}\right|^{2}=\pause\frac{cr^{2}H_{0}^{2}}{4\pi}\left(\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta+\sin^{4}\theta\overline{\cos^{2}\phi}\right)=$$\pause
 $$
 \frac{cr^{2}H_{0}^{2}}{8\pi}\left(2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta+\sin^{4}\theta\right)=
 $$
-$$\frac{cr^{2}H_{0}^{2}}{8\pi}\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)=\pause\frac{2\omega^{6}q^{2}a^{4}}{\pi c^{5}}\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)$$
+$$\frac{cr^{2}H_{0}^{2}}{8\pi}\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)=\frac{2\omega^{6}q^{2}a^{4}}{\pi c^{5}}\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)$$
-$$\overline{I}=\pause\int\frac{2\omega^{6}q^{2}a^{4}}{\pi c^{5}}\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)d\Omega=\pause\frac{4\omega^{6}q^{2}a^{4}}{c^{5}}\int\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)\sin\theta d\theta$$
+$$\overline{I}=\int\frac{2\omega^{6}q^{2}a^{4}}{\pi c^{5}}\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)d\Omega=\frac{4\omega^{6}q^{2}a^{4}}{c^{5}}\int\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)\sin\theta d\theta$$
-\pause
 отдельно возьмём интеграл:
-$$\intop_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)\sin\theta d\theta=\pause\intop_{-1}^{1}\left(1-\xi^{2}\right)\left(\xi^{2}+1\right)d\xi=\pause\left.\xi-\frac{1}{5}\xi^{5}\right|_{-1}^{1}=\pause\frac{8}{5}$$\pause
+$$\intop_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\theta+1\right)\sin\theta d\theta=\intop_{-1}^{1}\left(1-\xi^{2}\right)\left(\xi^{2}+1\right)d\xi=\left.\xi-\frac{1}{5}\xi^{5}\right|_{-1}^{1}=\frac{8}{5}$$
 в итоге