electrodynamics:res1.19 [Задачи по физике]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
1.19. Используя теорему Гаусса, найти: 

а) поле плоскости, заряженной с поверхностной плотностью $\sigma$; 

б) поле плоского конденсатора;

в) поле равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити с линейной плотностью $\varkappa$.

-----

а) По теореме Гаусса интеграл по поверхности $S$ для поля $\vec E$ ограничивающий некоторый объём
$\oint \limits_S (\vec E\cdot d\vec S) = \oint \limits_S E_n dS = 4\pi q$ равен (с точностью до $4\pi$) заряду $q$, заключённому в этом объёме.

Ограничим часть плоскости прямоугольником с гранями перпендикулярными и параллельными плоскости. Тогда из симметрии задачи поле $\vec E$ не может иметь компоненту параллельную плоскости, т.к. в таком случае, нарушается эквивалентность между "правым" "левым" направлениями. Тогда будет иметься только одно направление от/к плоскости. Следовательно, 
$$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\cdot S) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\sigma \cdot S).$$
Где двойка для площади получается из за того, что сверху и снизу от плоскости один и тот же поток (мы всегда можем рассмотреть верхние/нижние грани на одинаковом расстоянии от плоскости). Сокращая получим выражение: $E = 2\pi \sigma $. Если выбрать направление поля для положительного поверхностной плотности для плоскости расположенной при $z=0$, то можно записать
<WRAP center round box 60%>
$$\vec E = 2\pi \sigma \frac{\vec z}{|z|}.$$
</WRAP>


б) Поле внутри конденсатора и снаружи можно найти из предыдущего решения по суперпозиции, т.к. для конденсатора две обкладки имеют противоположный заряд, то поле внутри: <WRAP center round box 60%>
$$\left|\vec E \right| = \frac{4\pi q}{S},$$
</WRAP>
а вне 
<WRAP center round box 60%>
$$\vec E = 0.$$
</WRAP>


в) Рассмотрим поток поля от заряженной нити через поверхность цилиндра. Поток через основания цилиндра равно нулю так же из соображения симметрии, а через боковые поверхности: 
$$\oint \limits_S E_n dS = E\cdot (2\pi r \cdot l) = 4\pi q= 4\pi \cdot (\varkappa \cdot l).$$
Так как поле будет иметь только радиальную компоненту, то
<WRAP center round box 60%>
$$ \vec E = \frac{{2\varkappa }}{{r^2 }}\vec r.$$
</WRAP>