Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1.23. Используя теорему Гаусса, найти поля равномерно заряженных: а) шарика радиуса $a$ с объемной плотностью $\rho$; б) бесконечного цилиндра радиуса $a$ с линейной плотностью $\eta$; в) бесконечного плоского слоя толщины $2a$ с объемной плотностью заряда $\rho$. ----- ==== а) ==== Совместим начало сферической системы координат с центром шара. {{ :electrodynamics:выделение_028.jpg?direct&200 |}} Ввиду сферической симметрии распределения заряда ясно, что вектор $\vec{E}$ может быть направлен только вдоль радиуса и зависеть только от величины радиуса. Поток вектора $\vec{E}$ через сферическую поверхность радиуса $R$ независимо от величины радиуса запишется так: $$ \Phi=\oint\limits_{S}(\vec{E}\,d\vec{s})= E\oint\limits_{S}ds=E\cdot4\pi R^2, $$ если $\vec{E}$ параллелен радиус-вектору $\vec{R}$ и $\Phi=-E\cdot 4\pi R^2,$ если $\vec{E}$ антипараллелен $\vec{R}$, поскольку косинус угла между $\vec{E}$ и $d\vec{s}$ будет равен (-1). С другой стороны, $$ 4\pi\int\limits_{V}\rho dv=4\pi\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 \qquad\mbox{при}\qquad R\le a $$ и $$ 4\pi\int\limits_{V}\rho dv=4\pi\rho\cdot\frac{4}{3}\pi a^3 \qquad\mbox{при}\qquad R>a. $$ Поэтому <WRAP center round box 60%> $$ \vec{E}=\frac{4}{3}\pi\rho\vec{R}\qquad\mbox{при}\qquad R\le a, $$ $$ \vec{E}=\frac{4}{3}\pi\rho a^3\frac{\vec{R}}{R^3}= \frac{Q}{R^3}\vec{R}\qquad\mbox{при}\qquad R>a, $$ </WRAP> где $Q=\frac{4}{3}\pi a^3\rho$ --- полный заряд шара. Таким образом, равномерно заряженный шар создает во внешнем пространстве такое поле, как если бы весь заряд был сосредоточен в его центре. Этот результат остается справедливым при любом сферически симметричном распределении заряда по объему шара. ==== б) ==== Для бесконечного равномерно заряженного цилиндра вектор напряженности {{ :electrodynamics:выделение_029.jpg?direct&200 |}} электрического поля лежит в плоскостях, пердендикулярных оси цилиндра, и может зависеть только от расстояния от точки наблюдения до оси цилиндра. В цилиндрической системе координат с осью $Z$ вдоль оси цилиндра вектор напряженности $\vec{E}$ направлен вдоль $\vec{r}$. Построим два коаксиальных цилиндра длины $\ell$ с радиусами $r<a$ и $r>a$. Поток вектора $\vec{E}$ через поверхность каждого из цилиндров запишется так: $$ \Phi=\oint\limits_{S}(\vec{E}d\vec{s})= E\oint\limits_{S}ds=E\cdot2\pi r\ell. $$ При вычислении потока мы считали, что $\rho>0$, и, значит, вектор $d\vec{s}$ направлен по~$\vec{r}$. Поток вектора $\vec{E}$ через торцы цилиндров равен нулю, поскольку на них $\vec{E}$ и $\vec{r}$ перпендикулярны. С другой стороны, $$ 4\pi\int\limits_{V}\rho\,dv=4\pi\frac{\eta}{\pi a^2}\int\limits_{V}dv= \frac{4\eta}{a^2}\pi r^2\ell \qquad \;\mbox{при}\qquad r<a, $$ $$ 4\pi\int\limits_{V}\rho\,dv=4\pi\rho\cdot\pi a^2\ell =4\pi\eta \ell \qquad\;\mbox{при}\qquad\; r\ge a. $$ Подставляя найденные значения в уравнение (1), получаем: <WRAP center round box 60%> $$ \vec{E}=\frac{2\eta}{a^2}\,\vec{r} \qquad\mbox{при}\qquad r\le a, $$ $$ \vec{E}=\frac{2\eta}{r^2}\,\vec{r} \qquad\;\mbox{при}\qquad r> a. $$ </WRAP> ==== в) ==== Пусть средняя плоскость пластинки занимает положение плоскости ($x, y$). В силу симметрии распределения заряда относительно плоскости ($x, y$), вектор $\vec{E}$ может зависеть только от координаты $z$ и направлен от плоскости, если пластина заряжена положительно, и к плоскости, если ее заряд отрицателен. Построим куб с основаниями, симметрично расположенными по разные стороны от средней плоскости. Если $S$ --- площадь каждого основания, то поток вектора $\vec{E}$ {{ :electrodynamics:выделение_030.jpg?direct&200 |}} через оба основания равен $2ES$. Поток через боковую поверхность куба равен нулю, так как на ней векторы $\vec{E}$ и $d\vec{s}$ взаимно перпендикулярны. Значит, поток через поверхность куба равен $2ES$. С другой стороны, правая сторона выражения (1) будет равна: $4\pi\sigma S\cdot|z|$, если $z\le a$, и $4\pi\sigma S\cdot2a$, если $z>a$. Поэтому <WRAP center round box 60%> $$ \vec{E}=4\pi\sigma\vec{z} \;\;\;\mbox{при}\;\;\; |z|\le a\;, $$ $$ \vec{E}=4\pi\sigma a\,\frac{\vec z}{z} \;\;\;\mbox{при}\;\;\; |z|> a\;. $$ </WRAP>