Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 1.48. Найти поле между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов $r_1$ и $r_2$, разность потенциалов между которыми равна $U$. ----- Так как между обкладками отсутствует заряд, то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа: \[ \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}} \right) = 0. \] Проинтегрируем его один раз: \[ r\frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = A, \] тогда: \[ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}} = \frac{A}{r}. \] Проинтегрируем его второй раз: \[ \varphi = A\ln r + B \] Константу $A$ можно узнать из имеющейся разности потенциалов между обкладками: \[ \varphi _2 - \varphi _1 = A\ln r_2 - A\ln r_1 = U, \] следовательно: \[ A = \frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}. \] Тогда потенциал: \[ \varphi =\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}\ln r + B, \] а поле найдём взяв градиент потенциала: <WRAP center round box 60%> \[ E_r = -\frac{\partial \varphi }{\partial r} = - \frac{1}{r}\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}}. \] </WRAP> Или в векторном виде: <WRAP center round box 60%> \[ \vec E =-\frac{U}{\ln \frac{r_2 }{r_1}} \frac{\vec r}{r^2}. \] </WRAP>