Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.14. Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла $\Omega$ с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок --- $a$ и $b$, проницаемость диэлектрика --- $\varepsilon$. Найти емкость конденсатора. ----- В сферическом конденсаторе поле $\vec E$ направлено по радиусу $\vec r$. Такое решение получится если решать задачу $\Delta \varphi =0$ в пространстве между обкладками исходя из сферической симметрии задачи или из симметрии и [[t2|теоремы Гаусса]]. Если конденсатор заполнен диэлектриком, то ситуация не меняется. Если же теперь только часть пространства, расположенного в некотором телесном угле --- $\Omega $ заполнена диэлектриком, а оставшаяся не заполнена, то симметрия нарушается. В двух областях будут свои поля $\vec E_i,$ $\vec D_i$ с $i\in \{1, 2\}.$ Причём на границе должны сшиваться тангенциальные (к границе) составляющие электрического поля $E_{t1}=E_{t2}.$ При этом интеграл $$ \int \limits _{L_1}(\vec E_1 \cdot d \vec \ell)=\int \limits _{L_2}(\vec E_2 \cdot d \vec \ell) ,$$ где $L_i$ --- пути интегрирования соединяющие две обкладки конденсатора в одной и другой средах. Разность потенциалов совпадает, т.к. обкладки металлические. На границе разделов двух сред свободных зарядов нет, следовательно, нормальные (к границе раздела сред) составляющие $D_{n1}=D_{n2}$. Но тогда, можно предположить, что из симметрии задачи эти составляющие должны быть равны нулю. Из теоремы Гаусса найдём заряд на внутренней обкладке конденсатора: $$ 4\pi q=\oint\limits_{S_1+S_2}(\vec{D}\,d\vec{s})=\int \limits_{S_1}\varepsilon E\,ds+\int \limits_{S_2}E\,ds = $$ $$ \varepsilon E r^2\Omega+E r^2 (4\pi - \Omega). $$ Разность потенциалов: $$ U=\int \limits _a^b E \,dr = \int \limits _a^b \frac{4\pi }{\varepsilon \Omega+ (4\pi - \Omega)} \frac 1{r^2}\,dr = \frac{4\pi }{\varepsilon \Omega+ (4\pi - \Omega)} (\frac 1a -\frac 1b). $$ Таким образом ёмкость составного сферического конденсатора: $$ C = \frac{q}{U}= \frac{{a b}}{{b - a }}\left( {1 - \frac{\Omega }{{4\pi }} + \varepsilon \frac{\Omega }{{4\pi }}} \right) = $$ $$ \frac{{a b}}{{b - a}}\left( {1 - \frac{\Omega }{{4\pi }}\left( {1 - \varepsilon } \right)} \right). $$