Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 2.48. Найти энергию электростатического поля заряженного равномерно по объему шара через плотность энергии и через плотность заряда и потенциал. Заряд шара $Q$, радиус $R$. ----- Энергия электростатического поля может быть подсчитана по двум эквивалентным формулам: \begin{eqnarray} W&=&\frac{1}{8\pi}\int(\vec{E}\vec{D})\,dV \\ W&=& \frac{1}{2}\int\varphi\,dq=\frac{1}{2}\int\rho\varphi\,dV\,, \end{eqnarray} где $\vec{E}$, $\vec{D}$ --- векторы электрической напряженности и электрической индукции поля, $\varphi$ --- потенциал поля в месте нахождения заряда $dq$. Первый интеграл берется по всему объему, где $\vec{E}\ne 0$, во втором интеграле интегрирование ведется по всем зарядам системы. Найдем энергию электростатического поля шара, равномерно заряженного с плотностью $\rho$. Используя распределение поля для заряженного шара (см. задачу [[res1.23|1.23]]) и полагая $\varepsilon=1$, находим $$W=\frac{1}{8\pi}\biggl[\int\limits_0^a\Bigl(\frac{4}{3} \pi\rho\Bigr)^2R^2\cdot 4\pi R^2\,dR+ \int\limits_a^\infty\Bigl(\frac{4}{3} \pi\rho\Bigr)^2\frac{a^6}{R^4}\cdot 4\pi R^2\,dR\biggr]= \frac{3}{5}\,\frac{Q^2}{a}\,,$$ где $Q=\frac{4}{3}\pi a^3\rho$ --- полный заряд шара. Распределение потенциала внутри шара (см. задачу [[res1.47|1.47]]) $$\varphi(R)=\frac{Q}{a}+ \frac{Q}{2a}\biggl(1-\frac{R^2}{a^2}\biggr) \qquad\mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$ Подставляя потенциал, получаем $$W=\frac{1}{2}\int\limits_0^a\biggl[ \frac{Q}{a}+ \frac{Q}{2a}\Bigl(1-\frac{R^2}{a^2}\Bigr)\biggr]\,\rho\cdot 4\pi R^2\,dR=\frac{3}{5}\,\frac{Q^2}{a}.$$ Энергию можно найти и как работу, которую нужно совершить, чтобы <<слепить>> равномерно заряженный шар. Если уже <<слепили>> шар радиуса $R$, то, чтобы нарастить его на $dR$, нужно добавить к нему заряд $dQ=\rho\cdot 4\pi R^2\,dR$. Работа, которую следует совершить, чтобы преодолеть силу отталкивания при наращивании слоя толщиной $dR$, равна $$dA=\frac{4}{3}\pi\rho\frac{R^3}{R}\cdot \rho\cdot 4\pi R^2\, dR=\frac{3Q^2R\,^4}{a^6}\,dR\,.$$ Интегрируя по всем слоям, находим $$W=A=\frac{3Q^2}{a^6}\int\limits_0^a R\,^4\,dR=\frac{3}{5} \frac{Q^2}{a}\,.$$