Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 4.1. Найти поле на оси и в центре кругового витка радиуса $a$ с током $J$. Используя полученный результат, найти: - поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны под углами $\alpha_1, \alpha_2$; - поле на конце полубесконечного соленоида; - поле внутри бесконечного соленоида. Число витков на единицу длины соленоидов $n$. ----- {{:electrodynamics:выделение_069.jpg?direct&150 |}} По закону Био-Савара напряженность магнитного поля $d\vec{H}$, создаваемая элементом тока $J\,d\vec{\ell}$, \begin{equation} (1) \hspace{10pt} d\vec{H}=\frac{J}{cr^3}[\,d\vec{\ell}\times \vec{r}], \end{equation} где $r$ --- расстояние от элемента тока до точки наблюдения. По принципу суперпозиции полное поле в данной точке можно получить интегрированием (выражения выше) по всему кольцу. Замечаем, что на оси витка $$\vec{H}=\oint d\vec{H}=\vec{e}_z\oint dH_z,$$ где $\vec{e}_z$ --- единичный вектор в направлении оси $Z$. Интегрируя по кольцу $z$-ю проекцию напряженности магнитного поля $dH_z$, находим \begin{equation} (2) \hspace{10pt} H_z=\oint dH_z=\frac{J\cos\alpha}{cr^2}\oint d\ell= \frac{2\pi aJ\cos\alpha}{cr^2}=\frac{2\pi J}{c}\frac {a^2}{(a^2+z^2)^{3/2}}. \end{equation} Используя данное уравнение, получаем, что поле в центре витка $$ H_z\big|_{z=0}=\frac{2\pi J}{ca}\,. $$ {{:electrodynamics:выделение_070.jpg?direct&200 |}} а) Найдем поле на оси круглого соленоида в точке, из которой его края видны под углами $\,\alpha_1$ и $\,\alpha_2$. Используя уравнение (2), запишем поле, создаваемое в точке $z=0$ током соленоида, текущим по $\,n\,dz$ виткам, расположенным на расстоянии $\,z$ от начала координат $$dH_z=\frac{2\pi J}{c}\frac {a^2}{(a^2+z^2)^{3/2}}\,n\,dz\,.$$ Интегрируя но всей длине соленоида, получаем полное поле, создаваемое соленоидом в точке $\,z=0$: $$H_z=\frac{2\pi Jna}{c}\int\limits_{z_0}^{z_0+\ell}\frac {dz}{(a^2+z^2)^{3/2}}\,,$$ где $\ell$ --- длина соленоида. Перейдем от интегрирования по $\,z$ к интегрированию по углу $\,\alpha$, используя формулы: $$z=a\,\text{ctg}\alpha\,,\qquad dz=-\frac{a\,d\alpha}{\sin^2\alpha}\,, \qquad \sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}}\,.$$ Тогда \begin{equation} (3) \hspace{10pt} H_z=-\frac{2\pi nJ}{c}\int\limits_{\alpha_1}^{\alpha_ 2} \sin\alpha\,d\alpha=\frac{2\pi nJ}{c}(\cos\alpha_2-\cos\alpha_1)\,. \end{equation} б) Если положить $\;\alpha_1=\pi/2\,,\,\alpha_ 2=0$, то из уравнения (3) получим напряженность магнитного поля на конце полубесконечного соленоида $$H_z=\frac{2\pi Jn}{c}\,.$$ в) При $\;\alpha_1=\pi\,,\,\alpha_ 2=0$ формула (3) дает поле внутри бесконечного соленоида $$H_z=\frac{4\pi Jn}{c}\,.$$