Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 5.9. Равномерно намагниченная сфера (идеализированный ферромагнетик) вносится во внешнее однородное магнитное поле $\vec{H}_0$. Найти результирующее магнитное поле. Магнитная проницаемость сферы $\mu_1$, окружающей среды $\mu_2$. ----- Пусть $\,\vec{M}_0$ --- вектор намагниченности. Уравнения, описывающие распределение магнитного поля намагниченного шара в однородном магнитном поле, имеют вид $\text{rot}\vec{H}=0$, $\text{div} \vec{B}=0$, из которых следуют граничные условия $\,H_{1\tau}|=H_{2\tau}|;\;B_{1n}|=B_{2n}|$ (непрерывность тангенциальной составляющей напряженности магнитнго поля и непрерывность нормальной составляющей магнитной индукции). Решением первого уравнения является функция $\,\vec{H}=-\text{grad} \,\psi$. Подставляя это решение во второе уравнение, получаем уравнение Лапласа для скалярного потенциала $\;\nabla^2\psi=0$. Таким образом, задача о магнитном шаре в магнитном поле аналогична задаче о диэлектрическом шаре в электрическом поле (см. [[res2.8a|2.8a]]). Потенциал внутри шара будем искать в виде $$\psi_1=-c_1(\vec{H}_0\,\vec{R})+ b_1(\vec{M}_0\,\vec{R}) \qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$ Наличие второго слагаемого учитывает тот факт, что при снятии поля $\,\vec{H}_0$ в шаре остается поле, порождаемое собственной намагниченностью. Вне шара $$\psi_2=-(\vec{H}_0\,\vec{R})+ \frac{1}{R^3}\Big[b_2(\vec{M}_0\,\vec{R})+ b_3(\vec{H}_0\,\vec{R})\Big] \qquad \mbox{при}\qquad R\ge a\,.$$ Второе слагаемое учитывает наличие поля от собственного и индуцированного магнитных моментов шара. Направим ось $\,Z$ вдоль $\,\vec{H}_0$. Перепишем потенциалы в следующем виде: \[ \begin{array}{rll} \psi_1=&-c_1H_0R\cos\theta+ b_1M_0R\cos\theta_1& \mbox{при}\qquad R\leq a\, \\ \psi_2=&-H_0R\cos\theta+ \frac{b_3H_0\cos\theta}{R^2}+\frac{b_2M_0\cos\theta_1}{R^2}&\mbox{при}\qquad R\ge a\,. \end{array} \] где $\,\theta$ --- угол между направлением поля $\,\vec{H}_0$ и радиус-вектором $\,\vec{R}$ до точки наблюдения, а $\,\theta_1$ --- угол между направлением вектора намагниченности шара $\;\vec{M}_0$ и $\;\vec{R}_0$. {{:electrodynamics:выделение_157.png?direct&200 |}} Запишем условие непрерывности потенциала на поверхности шара $\;\psi_1(a)=\psi_2(a)$. Оно эквивалентно условию непрерывности тангенциальной составляющей магнитного поля $\;H_{1\tau}=H_{2\tau}$: $$\bigg(H_0a-c_1H_0a-\frac{b_3H_0}{a^2}\bigg)\cos\theta= \bigg(\frac{b_2M_0}{a^2}-b_1M_0\bigg)\cos\theta_1\,.$$ Поскольку это равенство должно выполняться при любых углах $\,\theta$ и $\,\theta_1$, то коэффициенты при $\,\cos\theta$ и $\,\cos\theta_1$ обращаются в нуль. Получаем $$b_1=\frac{b_2}{a^3}\,,\qquad c_1=1-\frac{b_3}{a^3}\,.$$ Найдем проекции вектора $\,\vec{B}$ на направление радиус-вектора $\,\vec{R}$. Для идеализированного ферромагнетика внутри шара $$\vec{B}_1=\mu_1\vec{H}_1+4\pi\vec{M}_0 \qquad \mbox{при}\qquad R < a,$$ где $\vec{M}_0$ --- постоянная, не зависящая от $\vec{H}$ намагниченность. Вне шара $\vec{B}_2\!=\!\mu_2\vec{H}_2$, тогда $$B_{1R}=\mu_1\bigg(-\frac{\partial \psi_1}{\partial R}\bigg)+ 4\pi M_0\cos\theta_1=$$ $$= \mu_1c_1H_0\cos\theta-\mu_1b_1M_0\cos\theta_1+ 4\pi M_0\cos\theta_1\,,$$ $$B_{2R}=\mu_2\bigg(-\frac{\partial \psi_2}{\partial R}\bigg)= \mu_2H_0\cos\theta+\frac{2\mu_2}{R^3}(b_2M_0\cos\theta_1+ H_0\cos\theta)\,.$$ Из условия непрерывности нормальной составляющей вектора $\,\vec{B}$ на поверхности шара $\;B_{1R}(a)=B_{2R}(a)$ получаем $$c_1=\frac{\mu_2}{\mu_1}\bigg(1-\frac{b_3}{a_3}\bigg)\,,\qquad b_1=\frac{4\pi}{\mu_1}\frac{2b_2}{a}\frac{\mu_2}{\mu_1}\,.$$ Окончательно $$c_1=\frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\,,\;\;\; b_1=\frac{4\pi}{2\mu_2+\mu_1}\,,\;\;\; b_2=\frac{4\pi a^3}{2\mu_2+\mu_1}\,,\;\;\; b_3=\frac{\mu_2-\mu_1}{2\mu_2+\mu_1}\,a^3\,.$$ $$\psi_1=-\frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}(\vec{H}_0\,\vec{R})+ \frac{4\pi}{2\mu_2+\mu_1}(\vec{M}_0\,\vec{R}) \qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\,.$$ $$\psi_2=-(\vec{H}_0\,\vec{R})+ \frac{(\vec{m}\,\vec{R})}{R^3} \qquad \mbox{при}\qquad R\ge a\,,$$ где $$\vec{m}=\frac{4\pi a^3}{2\mu_2+\mu_1}\vec{M}_0+ \frac{\mu_1-\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\,a^3\vec{H}_0\,.$$ Распределение напряженности магнитного поля имеет вид \[ \begin{split} \vec{H}_1=&-\vec{\nabla}\psi_1= \frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\vec{H}_0- \frac{4\pi}{2\mu_2+\mu_1}\vec{M}_0\;\;\mbox{при}\qquad R\leq a\,,\\ \vec{H}_2=&-\vec{\nabla}\psi_2=\vec{H}_0+ \frac{3\vec{R}(\vec{m}\,\vec{R})}{R^5}-\frac{\vec{m}}{R^3}\;\;\mbox{при}\qquad R> a\,. \end{split} \] При вычислении полей $\,\vec{H}_1$ и $\,\vec{H}_2$ использованы формулы векторного анализа $$\text{grad}\,(\varphi_1\,\varphi_2)=\varphi_1\,\text{grad} \,\varphi_2+ \varphi_2\, \text{grad}\,\varphi_1\,;$$ $$\text{grad}\,(\vec{A}\,\vec{B})=[\vec{A}\times \text{rot}\vec{B}]+ [\vec{B}\times \text{rot}\vec{A}]+(\vec{A}\,\vec{\nabla})\vec{B}+ (\vec{B}\,\vec{\nabla})\vec{A}$$ и $$\text{rot}\vec{R}=\text{rot}\vec{H}_0=\text{rot}\vec{M}_0=0$$ $$(\vec{H}_0\,\vec{\nabla})\vec{R}=\vec{H}_0\,,\qquad (\vec{R}\,\vec{\nabla})\vec{H}_0=0\,,$$ $$\text{grad}\,\bigg(\frac{1}{R^3}\bigg)=-\frac{3\vec{R}}{R^5}\,.$$ Если шар предварительно не был намагничен ($\vec{M}_0=0$), то \begin{eqnarray} \vec{H}_1&=&\frac{3\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\vec{H}_0\,,\\ \vec{H}_2&=&\vec{H}_0+\vec{H}_\text{дип}\,, \end{eqnarray} где $\,\vec{H}_\text{дип}\,$ --- поле, создаваемое индуцированным магнитным моментом $$\vec{m}=\frac{\mu_1-\mu_2}{2\mu_2+\mu_1}\,a^3\vec{H}_0\,.$$