Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 6.14. Внутрь соленоида, имеющего $N$ витков, длину $\ell$ и площадь сечения $S_1$, вставлен коаксиально второй соленоид с тем же направлением намотки и той же длины $\ell$, но иным числом витков $N_2$ и площадью сечения $S_2$ $(\ell\gg \sqrt{S_1},\sqrt{S_2})$, края соленоидов совпадают. Обмотки соединены последовательно так, что токи в обоих соленоидах текут в одинаковых направлениях. Найти индуктивность системы: а) через энергию; б) через потокосцепление. ----- Если по соленоидам пропустить ток $\,J$, то распределение напряженности магнитного поля будет иметь вид $$H_1=\frac{4\pi J}{c}\frac{N_1}{\ell} \qquad\mbox{при}\qquad R_2\leq R\leq R_1\,,$$ $$H_2=\frac{4\pi J}{c}\frac{N_1}{\ell}+ \frac{4\pi J}{c}\frac{N_2}{\ell}= \frac{4\pi J}{c}\frac{(N_1+N_2)}{\ell} \qquad\mbox{при}\qquad R< R_2\,,$$ $$H_3=0 \qquad\mbox{при}\qquad R> R_1\,.$$ а) Найдем магнитную энергию, запасенную в системе: \begin{equation} \begin{split} W=\frac{1}{8\pi}\int H^2\,dv&=\frac{1}{8\pi} \bigg(\frac{4\pi J}{c\,\ell}\bigg)^2 \bigg[(N_1+N_2)^2S_2\ell+N^2_1(S_1-S_2)\ell\bigg]=\\ &=\frac{2\pi J^2}{c^2\ell}(N_1^2S_1+N_2^2S_2+2N_1N_2S_2). \end{split} \end{equation} С другой стороны, $W=LJ^2/2c^2$, где $L$ -- индуктивность системы. Сравнивая, находим \begin{equation} L=\frac{4\pi }{\ell}(N_1^2S_1+N_2^2S_2+2N_1N_2S_2)\,. \end{equation} б) Учитывая потокосцепления для внутреннего соленоида, имеем $$\Phi_2=\frac{4\pi J}{c\,\ell}(N_1+N_2)N_2S_2\,.$$ С учетом потокосцепления для внешнего соленоида получаем $$\Phi_1=\frac{4\pi J}{c\,\ell}(N_1+N_2)N_1S_2+ \frac{4\pi J}{c\,\ell}(S_1-S_2)N^2_1= \frac{4\pi J}{c\,\ell}(N_1N_2S_2+N_1^2S_1)\,.$$ Для всей системы $$\Phi=\Phi_1+\Phi_2=\frac{4\pi J}{c\,\ell} (N_1^2S_1+N_2^2S_2+2N_1N_2S_2).$$ Сравнивая с $\,\Phi=LJ/c$, находим для индуктивности прежний результат.