Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. 6.33. Медный тонкостенный цилиндр массы $m$ и длины $\ell$ внесли в однородное магнитное поле параллельное оси цилиндра, после чего за очень короткий интервал времени $\tau$ поле быстро увеличили до значения $H_1$ и выключили. Известно, что цилиндр сжался без разрушения (<<магнитное обжатие>>). Считая цилиндр длинным, а его форму после обжатия --- цилиндрической, найти поле внутри цилиндра сразу после <<обжатия>> ($H_1=5$ кГс, $H_0=1$ кГс, $\tau=10^{-6}$ с, $m/\ell=1$ г/см. Силами упругой деформации пренебречь). ----- Предположим, что за время \(t, 0 \leq t \leq\tau\) когда поле снаружи стало \(H_1\), радиус цилиндра не успел измениться. Магнитное поле внутри определяется из закона сохранения магнитного потока через поперечное сечение цилиндра (приближение <<сверхпроводимости>> тонкого медного цилиндра) \[ \Phi = H_0 \pi r_0^2=H(r)\pi r^2, \] где \(r\) --- текущий радиус сжимающегося цилиндра. Тогда поле внутри цилиндра \[ H(r)=H_0\frac{r_0^2}{r^2}. \] Уравнение движения элемента цилиндра длиной \(r\delta \varphi\) вдоль радиуса под действием разности давлений магнитных полей описывается уравнением \[ \frac{\delta \varphi}{2\pi}m\ddot r=-\frac{r \delta\varphi \ell}{8\pi}\left[H_1^2-H_0^2\frac{r_0^4}{r^4}\right], \] или, упрощая, получим \[ \ddot r=-\frac{r \ell}{4m}\left[H_1^2-H_0^2\frac{r_0^4}{r^4}\right]. \] Домножив обе части уравнения на \(\dot r\), можно привести уравнение к виду \[ \frac{d}{dt}{\dot r^2} = -\frac{\ell}{4m}\left[H_1^2\frac{d}{dt}r^2+H_0^2 r_0^4 \frac{d}{dt}\frac{1}{r^2}\right], \] откуда получаем решение \[ \dot r^2= -\frac{\ell}{4m}\left[H_1^2 r^2+H_0^2 \frac{r_0^4}{r^2}\right]+C_1. \] Из начальных условий получим \[ C_1=\frac{\ell}{4m}\left[H_1^2 r_0^2+H_0^2 r_0^2\right]. \] Считая, как указано выше, что цилиндр не сдвинулся с места при \(t, 0 \leq t \leq\tau\), т.е. \(\dot r=0\). Тогда \[ H_1^2 r^4+H_0^2r_0^4-\left(H_1^2+H_0^2\right)r_0^2 r^2=0, \] откуда, решая квадратное уравнение, получим \[ r=r_0\frac{H_0}{H_1},\;\;\text{и}\;\;H=\frac{H_1^2}{H_0}. \]