Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 12. Интерференция света ====== ===== Задача 1. Разность хода в призме ===== ==== Условие ==== Два параллельных световых пучка, отстоящих друг от друга на расстоянии $d=5$ см, падают на кварцевую призму ($n=1{,}49$) с преломляющим углом $\alpha=25^\circ$. Определите оптическую разность хода $\Delta$ этих пучков на выходе их из призмы. ==== Решение ==== Разность хода набегает на участке $BC$ между точками выхода лучей из призмы (второй луч проходит в стекле лишний отрезок $BC$ по сравнению с первым): $$\Delta=(l_2-l_1)n=BC\cdot n,\qquad BC=d\,\operatorname{tg}\alpha.$$ Отсюда $$\Delta=nd\,\operatorname{tg}\alpha.$$ Численно: $\Delta=1{,}49\cdot5\cdot\operatorname{tg}25^\circ\approx3{,}47$ см. ==== Ответ ==== $\Delta=nd\,\operatorname{tg}\alpha\approx3{,}47$ см. ===== Задача 2. Опыт Юнга: положение полос ===== ==== Условие ==== В опыте Юнга расстояние между щелями $d=1$ мм, а расстояние $l$ от щелей до экрана равно 3 м. Определите: 1) положение первой светлой полосы; 2) положение третьей тёмной полосы, если щели освещаются монохроматическим светом с длиной волны $\lambda=0{,}5$ мкм. ==== Решение ==== Оптическая разность хода лучей, приходящих в точку экрана на расстоянии $x$ от центра картины: $\Delta=\dfrac{xd}{l}$. Условие максимума: $\Delta=\pm m\lambda$ ($m=0,1,2,\dots$), откуда $$x_{\max}=\pm m\frac l d\lambda,\qquad x_{1\max}=\pm\frac ld\lambda\ \ (m=1).$$ Условие минимума: $\Delta=\pm(2m+1)\dfrac\lambda2$ ($m=0,1,2,\dots$), откуда $$x_{\min}=\pm\left(m+\frac12\right)\frac ld\lambda,\qquad x_{3\min}=\pm\left(3+\frac12\right)\frac ld\lambda=\pm\frac{7\lambda l}{2d}\ \ (m=3).$$ Подставляя $l/d=3000$, $\lambda=0{,}5$ мкм: $x_{1\max}=1{,}5$ мм, $x_{3\min}=5{,}25$ мм. ==== Ответ ==== $x_{1\max}=\pm1{,}5$ мм; $x_{3\min}=\pm5{,}25$ мм. ===== Задача 3. Опыт Юнга: угловое расстояние между полосами ===== ==== Условие ==== В опыте Юнга расстояние $l$ от щелей до экрана равно 3 м. Определите угловое расстояние между соседними светлыми полосами, если третья световая полоса на экране отстоит от центра интерференционной картины на 4,5 мм. ==== Решение ==== Угол, под которым видна полоса из середины щелей: $\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha=x/l$. Из условия максимума $x_m=m\dfrac ld\lambda$, поэтому $\alpha=\dfrac{m\lambda}{d}$, и угловое расстояние между соседними полосами $$\Delta\alpha=\frac{m\lambda}{d}-\frac{(m-1)\lambda}{d}=\frac\lambda d=\frac{x}{ml}$$ (последнее равенство — через данные третьей полосы: $x=4{,}5$ мм при $m=3$). Подставляя $x=4{,}5\cdot10^{-3}$ м, $m=3$, $l=3$ м: $$\Delta\alpha=\frac{4{,}5\cdot10^{-3}}{3\cdot3}=5\cdot10^{-4}\text{ рад}.$$ ==== Ответ ==== $\Delta\alpha=5\cdot10^{-4}$ рад. ===== Задача 4. Полосы от источника и его зеркального изображения ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-12-4.png?400|}} В точку $A$ экрана от источника $S_1$ монохроматического света длиной волны $\lambda=0{,}5$ мкм приходит два луча: непосредственно от источника луч $S_1A$, перпендикулярный экрану, и луч $S_1BA$, отражённый в точке $B$ от зеркала, параллельного лучу $S_1A$. Расстояние $l_1$ экрана от источника равно 1 м, расстояние $h$ от луча $S_1A$ до плоскости зеркала равно 2 мм. Определить: 1) что будет наблюдаться в точке $A$ экрана — усиление или ослабление интенсивности; 2) как изменится интенсивность в точке $A$, если на пути луча $S_1A$ перпендикулярно ему поместить плоскопараллельную пластинку стекла ($n=1{,}55$) толщиной $d=6$ мкм. ==== Решение ==== Построим мнимое изображение $S_2$ источника $S_1$ в зеркале — тогда $S_1$ и $S_2$ являются когерентными источниками, и задача сводится к обычной двухлучевой интерференции с расстоянием между источниками $H=2h$. Число полуволн, укладывающихся на оптической разности хода, определяет характер интерференции в точке наблюдения: $$m=\frac{\Delta}{\lambda/2};$$ чётное целое $m$ — максимум, нечётное — минимум, дробное — частичное усиление или ослабление (в зависимости от того, к чётному или нечётному числу ближе). Разность хода складывается из геометрической разности $l_2-l_1$ и дополнительной разности $\lambda/2$, возникающей из-за смены фазы на $\pi$ при отражении от более плотной среды (зеркала): $$\Delta_1=l_2-l_1+\frac\lambda2.$$ Так как $l_2=\sqrt{l_1^2+H^2}$ и $H\ll l_1$, то по приближённой формуле $\sqrt{1+a}\approx1+a/2$: $$l_2-l_1=l_1\left[\sqrt{1+(H/l_1)^2}-1\right]\approx\frac{H^2}{2l_1}.$$ Отсюда $\Delta_1=\dfrac{H^2}{2l_1}+\dfrac\lambda2$, и, учитывая $H=2h$, $$m_1=\frac{\Delta_1}{\lambda/2}=\frac{H^2}{\lambda l_1}+1=\frac{4h^2}{\lambda l_1}+1.$$ Подставляя $h=2\cdot10^{-3}$ м, $\lambda=0{,}5\cdot10^{-6}$ м, $l_1=1$ м, получаем $m_1=33$ — целое нечётное число, значит **в точке $A$ наблюдается минимум интенсивности**. При установке пластинки толщиной $d$ на пути луча $S_1A$ оптическая длина этого пути становится $L=(l_1-d)+nd=l_1+(n-1)d$, поэтому новая разность хода $$\Delta_2=l_2-L+\frac\lambda2=\Delta_1-(n-1)d,$$ и соответствующее число полуволн $$m_2=m_1-\frac{2(n-1)d}{\lambda}.$$ Подставляя $(n-1)d=0{,}55\cdot6\cdot10^{-6}$ м $=3{,}3\cdot10^{-6}$ м и $\lambda=0{,}5\cdot10^{-6}$ м, получаем $m_2=33-13{,}2=19{,}8$. Это дробное число ближе к чётному 20, чем к нечётному 19, поэтому **после установки пластинки в точке $A$ происходит частичное усиление интенсивности**. ==== Ответ ==== Без пластинки в точке $A$ — минимум интенсивности ($m_1=33$); с пластинкой $m_2=19{,}8$, что ближе к чётному числу — происходит частичное усиление. ===== Задача 5. Смещение картины пластинкой ===== ==== Условие ==== Если в опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей поместить перпендикулярно этому лучу тонкую стеклянную пластинку ($n=1{,}5$), то центральная светлая полоса смещается в положение, первоначально занимаемое пятой светлой полосой. Длина волны $\lambda=0{,}5$ мкм. Определите толщину пластинки. ==== Решение ==== Пластинка вносит дополнительную разность хода $$\Delta=nd-d=d(n-1).$$ Смещение центральной полосы на место $m$-й светлой полосы означает, что эта добавка равна $m$ длинам волн: $\Delta=m\lambda$. Отсюда $$d(n-1)=m\lambda\ \Longrightarrow\ d=\frac{m\lambda}{n-1}.$$ При $m=5$, $\lambda=0{,}5$ мкм, $n=1{,}5$: $$d=\frac{5\cdot0{,}5}{0{,}5}=5\text{ мкм}.$$ ==== Ответ ==== $d=\dfrac{m\lambda}{n-1}=5$ мкм. ===== Задача 6. Просветление плёнки (минимальная толщина) ===== ==== Условие ==== На плоскопараллельную плёнку с показателем преломления $n=1{,}33$ под углом $i=45^\circ$ падает параллельный пучок белого света. Определите, при какой наименьшей толщине плёнки зеркально отражённый свет наиболее сильно окрасится в жёлтый цвет ($\lambda=0{,}6$ мкм). ==== Решение ==== Условие максимума в отражённом свете: $\Delta=m\lambda$, $m=0,1,2,\dots$. Разность хода лучей, отражённого от верхней грани плёнки и вышедшего после отражения от нижней грани (с учётом потери полуволны при отражении от оптически более плотной среды сверху): $$\Delta=(AB+BC)n-\left(AE-\frac\lambda2\right),$$ где $AB=BC=\dfrac{d}{\cos r}$ — длина пути луча в плёнке толщиной $d$, а $AE=2d\,\operatorname{tg}r\sin i$ — разность хода в воздухе до точки схождения лучей $E$. Используя закон преломления $\sin i/\sin r=n$ и $\operatorname{tg}r=\sin r/\cos r$, после подстановки получаем $$\Delta=\frac{2dn}{\cos r}-2d\,\operatorname{tg}r\sin i+\frac\lambda2=\frac{2d}{\cos r}\left(n-\sin r\sin i\right)+\frac\lambda2=\frac{2dn}{\cos r}\cos^2r+\frac\lambda2=2dn\cos r+\frac\lambda2$$ (использовано $\sin r\sin i=\sin^2r\cdot\dfrac{\sin i}{\sin r}=n\sin^2r$, так что $n-\sin r\sin i=n(1-\sin^2r)=n\cos^2r$). Наименьшая толщина отвечает первому максимуму ($m=1$): $2dn\cos r+\lambda/2=\lambda$, откуда $$2dn\cos r=\frac\lambda2\ \Longrightarrow\ d=\frac{\lambda}{4n\cos r}.$$ Выражая $\cos r=\dfrac1n\sqrt{n^2-\sin^2i}$ через угол падения: $$d=\frac{\lambda}{4\sqrt{n^2-\sin^2i}}.$$ Подставляя $\lambda=0{,}6$ мкм, $n=1{,}33$, $i=45^\circ$: $d\approx133$ нм. ==== Ответ ==== $d=\dfrac{\lambda}{4\sqrt{n^2-\sin^2i}}\approx133$ нм. ===== Задача 7. Угол клина по интерференционным минимумам ===== ==== Условие ==== На стеклянный клин ($n=1{,}5$) нормально падает монохроматический свет ($\lambda=698$ нм). Определите угол между поверхностями клина, если расстояние между двумя соседними интерференционными минимумами в отражённом свете равно 2 мм. ==== Решение ==== Для тонкого клина при нормальном падении разность хода в точке с толщиной клина $y$ равна $\Delta=2yn$ (толщина клина в направлении наблюдения связана с расстоянием вдоль клина $x$ через угол $\alpha$: $y\approx\alpha x$, но нам понадобится только приращение). Соседние минимумы соответствуют последовательным полуцелым числам полуволн: условие минимума $\Delta=(2m+1)\lambda/2$, поэтому переход от $m$ к $m+1$ даёт приращение разности хода ровно на $\lambda$: $$\bigl[2(m+1)+1\bigr]\frac\lambda2-(2m+1)\frac\lambda2=\lambda\ \Longrightarrow\ 2yn=\lambda\ \Longrightarrow\ y=\frac{\lambda}{2n}.$$ Угол клина $\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha=y/\Delta x$, где $\Delta x$ — расстояние вдоль клина между соседними минимумами: $$\alpha=\frac{\lambda}{2n\,\Delta x}.$$ Подставляя $\lambda=698\cdot10^{-9}$ м, $n=1{,}5$, $\Delta x=2\cdot10^{-3}$ м, получаем $\alpha\approx24''$ (угловых секунд). ==== Ответ ==== $\alpha=\dfrac{\lambda}{2n\,\Delta x}\approx24''$. ===== Задача 8. Клин, заполненный жидкостью ===== ==== Условие ==== Монохроматический свет падает нормально на поверхность воздушного клина, причём расстояние между интерференционными полосами $\Delta x_1=0{,}4$ мм. Определите расстояние $\Delta x_2$ между интерференционными полосами, если пространство между пластинками, образующими клин, заполнить прозрачной жидкостью с показателем преломления $n=1{,}33$. ==== Решение ==== Из предыдущей задачи угол клина при заданном расстоянии между полосами: $\alpha=\dfrac{\lambda}{2n\,\Delta x}$ — но сам угол клина не меняется при заполнении жидкостью, меняется только показатель преломления среды между пластинками ($n_1=1$ до заполнения, $n_2=1{,}33$ после), длина волны $\lambda$ (источника) одна и та же. Из равенства угла клина в обоих случаях: $$\frac{\lambda}{2n_1\,\Delta x_1}=\frac{\lambda}{2n_2\,\Delta x_2}\ \Longrightarrow\ \frac{\Delta x_1}{\Delta x_2}=\frac{n_2}{n_1}\ \Longrightarrow\ \Delta x_2=\frac{n_1}{n_2}\,\Delta x_1.$$ Подставляя $n_1=1$, $n_2=1{,}33$, $\Delta x_1=0{,}4$ мм: $$\Delta x_2=\frac{1}{1{,}33}\cdot0{,}4\approx0{,}3\text{ мм}.$$ ==== Ответ ==== $\Delta x_2=\dfrac{n_1}{n_2}\Delta x_1\approx0{,}3$ мм. ===== Задача 9. Кольца Ньютона в проходящем свете (жидкость между линзой и пластинкой) ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-12-9.png?300|}} Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны $\lambda=0{,}6$ мкм, падающим нормально. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, и наблюдение ведётся в проходящем свете. Радиус кривизны линзы $R=4$ м. Определите показатель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца $r=1{,}8$ мм. ==== Решение ==== Радиус кольца, отвечающего зазору толщиной $d$ между линзой и пластинкой: $$r=\sqrt{R^2-(R-d)^2}\approx\sqrt{2Rd}\ \Longrightarrow\ d=\frac{r^2}{2R}.$$ В проходящем свете (в отличие от отражённого) потери полуволны не происходит, поэтому разность хода в жидкости с показателем преломления $n$: $\Delta=2dn$, и условие максимума (светлое кольцо) — целое число длин волн: $\Delta=m\lambda$, т.е. $2dn=m\lambda$ (для второго кольца $m=2$). Отсюда $$n=\frac{m\lambda}{2d}=\frac{m\lambda\cdot2R}{2r^2}=\frac{m\lambda R}{r^2}.$$ Подставляя $m=2$, $\lambda=0{,}6\cdot10^{-6}$ м, $R=4$ м, $r=1{,}8\cdot10^{-3}$ м: $$n=\frac{2\cdot0{,}6\cdot10^{-6}\cdot4}{(1{,}8\cdot10^{-3})^2}\approx1{,}48.$$ ==== Ответ ==== $n=\dfrac{m\lambda R}{r^2}\approx1{,}48$. ===== Задача 10. Кольца Ньютона в отражённом свете: определение длины волны ===== ==== Условие ==== Плосковыпуклая линза радиусом кривизны $R=4$ м выпуклой стороной лежит на стеклянной пластинке. Определите длину волны падающего монохроматического света, если радиус пятого светлого кольца в отражённом свете равен 3 мм. ==== Решение ==== В отражённом свете (воздушный зазор, $n=1$) из-за потери полуволны при отражении от стеклянной пластинки условие максимума сдвинуто на полуволну, и радиус $m$-го светлого кольца $$r_m=\sqrt{\left(m-\frac12\right)\lambda R}.$$ Отсюда $$\lambda=\frac{r_m^2}{\left(m-\dfrac12\right)R}.$$ Подставляя $m=5$, $r_m=3\cdot10^{-3}$ м, $R=4$ м: $$\lambda=\frac{(3\cdot10^{-3})^2}{4{,}5\cdot4}=0{,}5\cdot10^{-6}\text{ м}=0{,}5\text{ мкм}.$$ ==== Ответ ==== $\lambda=\dfrac{r_m^2}{(m-1/2)R}=0{,}5$ мкм.