Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ====== Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 15. Сферические зеркала и линзы ====== ===== Задача 1 ===== ==== Условие ==== Расстояние $a$ от предмета до вогнутого сферического зеркала равно двум радиусам кривизны. Определите положение изображения предмета и постройте это изображение. ==== Решение ==== {{ ::ggf3-15-1.png?300|}} Формула сферического зеркала: $\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac2R=\dfrac1f$. При $a=2R$: $$\frac1{2R}+\frac1b=\frac2R\ \Longrightarrow\ \frac1b=\frac1R\left(2-\frac12\right)=\frac3{2R}.$$ ==== Ответ ==== $b=\dfrac23R$ (действительное изображение между фокусом и центром кривизны, перевёрнутое, уменьшенное). ===== Задача 2 ===== ==== Условие ==== Выпуклое сферическое зеркало имеет радиус кривизны $R=60$ см. На расстоянии $a=10$ см от зеркала поставлен предмет высотой $h=2$ см. Определите: 1) положение изображения; 2) высоту изображения. Постройте чертёж. ==== Решение ==== {{ ::ggf3-15-2.png?300|}} Для выпуклого зеркала ($R$ — за зеркалом, фокус мнимый): $-\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac2R=\dfrac1f$, откуда $$\frac1b=\frac2R+\frac1a\ \Longrightarrow\ b=\frac{aR}{2a+R}.$$ Из подобия треугольников $\dfrac hH=\dfrac{R+a}{R-b}$, откуда $$H=h\,\frac{R-b}{R+a}.$$ Подставляя $R=60$ см, $a=10$ см, $h=2$ см: $b=\dfrac{10\cdot60}{20+60}=7{,}5$ см; $H=2\cdot\dfrac{60-7{,}5}{60+10}=1{,}5$ см. ==== Ответ ==== 1) $b=7{,}5$ см (мнимое изображение за зеркалом); 2) $H=1{,}5$ см (прямое, уменьшенное). ===== Задача 3 ===== ==== Условие ==== {{ ::ggf3-15-3.png?250|}} На рисунке показаны положения главной оптической оси $MN$ тонкой линзы, светящейся точки $S$ и её изображения $S'$. Определите построением оптический центр линзы и её фокусы. Укажите вид линзы. Среды по обе стороны линзы одинаковы. ==== Решение ==== {{ ::ggf3-15-3r.png?350|}} Точка $S'$ лежит по другую сторону оси и дальше от неё, чем $S$, причём на продолжении прямой, соединяющей $S$ с точкой пересечения линии $SS'$ и оси $MN$, — это и есть оптический центр $O$ (луч через центр линзы не преломляется, идёт прямо). Строим второй характерный луч: луч из $S$, параллельный оси, после линзы идёт через задний фокус $F$ в направлении $S'$; луч из $S$ через передний фокус $F$ выходит параллельно оси. Пересечения этих лучей с осью дают положения фокусов $F$ (по обе стороны от $O$, симметрично, так как среды одинаковы). ==== Ответ ==== Изображение $S'$ — действительное и перевёрнутое (лежит по другую сторону оси и дальше от неё, чем предмет $S$), значит линза — собирающая; оптический центр $O$ и оба фокуса $F$ находятся построением, как показано на рисунке. ===== Задача 4 ===== ==== Условие ==== Определите расстояние $a$ от двояковыпуклой линзы до предмета, при котором расстояние от предмета до действительного изображения будет минимальным. ==== Решение ==== {{ ::ggf3-15-4.png?300|}} Полное расстояние предмет–изображение $l=a+b$, формула линзы $\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1f$, откуда $b=l-a$ и $$lf=al-a^2\ \Longrightarrow\ l=\frac{a^2}{a-f}.$$ Условие минимума: $\dfrac{dl}{da}=0$: $$\frac{dl}{da}=\frac{2a(a-f)-a^2}{(a-f)^2}=0\ \Longrightarrow\ 2a(a-f)-a^2=0\ \Longrightarrow\ a=2f.$$ ==== Ответ ==== $a=2f$ (при этом $b=2f$ тоже, т.е. $l_{\min}=4f$ — предмет и изображение равноудалены от линзы). ===== Задача 5 ===== ==== Условие ==== Двояковыпуклая линза с показателем преломления $n=1{,}5$ имеет одинаковые радиусы кривизны поверхностей, равные $R=10$ см. Изображение предмета с помощью этой линзы оказывается в $\eta=5$ раз больше предмета. Определите расстояние от предмета до изображения. ==== Решение ==== {{ ::ggf3-15-5.png?300|}} Формула линзы через радиусы кривизны: $\dfrac1a+\dfrac1b=(n-1)\dfrac2R$. Увеличение $\eta=b/a$, значит $b=\eta a$, и $$a+b=ab\,(n-1)\frac2R.$$ Подставляя $b=\eta a$: $a(1+\eta)=a^2\eta(n-1)\dfrac2R$, откуда $$a=\frac{(1+\eta)R}{2\eta(n-1)},\qquad a+b=(1+\eta)a=\frac{(1+\eta)^2R}{2\eta(n-1)}.$$ Подставляя $\eta=5$, $n=1{,}5$, $R=0{,}1$ м: $a+b=\dfrac{6^2\cdot0{,}1}{2\cdot5\cdot0{,}5}=\dfrac{3{,}6}{5}=0{,}72$ м. ==== Ответ ==== $a+b=0{,}72$ м. ===== Задача 6 ===== ==== Условие ==== Необходимо изготовить плосковыпуклую линзу с оптической силой $\Phi=4$ дптр. Определите радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если показатель преломления материала линзы равен $n=1{,}6$. ==== Решение ==== Формула тонкой линзы: $\dfrac1f=(n-1)\left(\dfrac1{R_1}-\dfrac1{R_2}\right)$. Для плосковыпуклой линзы одна поверхность плоская: $R_1=\infty$, вторая — сферическая, $R_2=-R$ (по правилу знаков для выпуклой в сторону предмета поверхности), так что $$\Phi=\frac1f=(n-1)\frac1R\ \Longrightarrow\ R=\frac{n-1}{\Phi}.$$ ==== Ответ ==== $R=\dfrac{n-1}{\Phi}=\dfrac{0{,}6}{4}=0{,}15$ м $=15$ см. ===== Задача 7 ===== ==== Условие ==== Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $f=25$ см проецирует изображение предмета на экран, отстоящий от линзы на расстоянии $l=5{,}0$ м. Экран придвинули к линзе на $\Delta l=18$ см. На сколько следует переместить предмет, чтобы опять получить чёткое изображение на экране? ==== Решение ==== Пусть $d$ — расстояние от предмета до линзы, $l$ — от линзы до экрана (изображения); $\dfrac1f=\dfrac1d+\dfrac1l\ \Rightarrow\ d=\dfrac{fl}{l-f}$. Первоначально: $d_1=\dfrac{fl}{l-f}$. После сдвига экрана на $\Delta l$ ближе к линзе, новое расстояние изображения $l-\Delta l$, новое положение предмета: $$d_2=\frac{f(l-\Delta l)}{l-f-\Delta l}.$$ Перемещение предмета: $$x=d_2-d_1=\frac{f(l-\Delta l)}{l-f-\Delta l}-\frac{fl}{l-f}=\frac{\Delta l\,f^2}{(l-f)(l-f-\Delta l)}.$$ Подставляя $l=5$ м, $f=0{,}25$ м, $\Delta l=0{,}18$ м: $l-f=4{,}75$ м, $l-f-\Delta l=4{,}57$ м, $$x=\frac{0{,}18\cdot0{,}0625}{4{,}75\cdot4{,}57}=\frac{0{,}01125}{21{,}7075}\approx0{,}000518\text{ м}\approx0{,}05\text{ см}.$$ ==== Ответ ==== $x=\dfrac{\Delta l\,f^2}{(l-f)(l-f-\Delta l)}\approx0{,}05$ см (предмет нужно отодвинуть от линзы). ===== Задача 8 ===== ==== Условие ==== Между предметом и экраном, положения которых неизменны, помещают тонкую собирающую линзу. Перемещением линзы находят два положения, при которых на экране образуется чёткое изображение предмета. Найти поперечный размер предмета, если при одном положении линзы размер изображения $h'=2{,}0$ мм, а при другом $h''=4{,}5$ мм. ==== Решение ==== Два положения линзы, дающие резкое изображение на неподвижном экране при неподвижном предмете, симметричны (принцип обратимости хода лучей): расстояния предмет–линза и линза–экран просто меняются местами между двумя положениями. Если в первом положении $a$ — расстояние от предмета до линзы, $b$ — от линзы до экрана, то во втором положении они меняются местами. Увеличение в каждом случае: $\dfrac ha=\dfrac{h'}b$ и $\dfrac hb=\dfrac{h''}a$ (перекрёстно, так как $a,b$ поменялись ролями). Перемножая: $$\frac{h^2}{ab}=\frac{h'h''}{ab}\ \Longrightarrow\ h^2=h'h''\ \Longrightarrow\ h=\sqrt{h'h''}.$$ ==== Ответ ==== $h=\sqrt{h'h''}=\sqrt{2{,}0\cdot4{,}5}=\sqrt9=3$ мм. ===== Задача 9 ===== ==== Условие ==== Найти оптическую силу и фокусные расстояния тонкой стеклянной линзы (показатель преломления стекла $n=1{,}5$) в жидкости с показателем преломления $n_0=1{,}7$, если её оптическая сила в воздухе $\Phi_0=-5{,}0$ дптр. ==== Решение ==== Оптическая сила линзы в среде с показателем преломления $n_{\text{ср}}$: $\Phi=(n-n_{\text{ср}})\left(\dfrac1{R_1}-\dfrac1{R_2}\right)$, где геометрический форм-фактор $\left(\dfrac1{R_1}-\dfrac1{R_2}\right)$ не зависит от окружающей среды. В воздухе ($n_{\text{ср}}=1$): $\Phi_0=(n-1)\left(\dfrac1{R_1}-\dfrac1{R_2}\right)$. В жидкости: $$\Phi_{\text{ж}}=(n-n_0)\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)=\Phi_0\,\frac{n-n_0}{n-1}.$$ Подставляя $n=1{,}5$, $n_0=1{,}7$, $\Phi_0=-5{,}0$ дптр: $$\Phi_{\text{ж}}=-5{,}0\cdot\frac{1{,}5-1{,}7}{1{,}5-1}=-5{,}0\cdot\frac{-0{,}2}{0{,}5}=2{,}0\text{ дптр}.$$ Так как жидкость оптически плотнее стекла ($n_0>n$), рассеивающая в воздухе линза становится собирающей в жидкости. Фокусное расстояние в жидкости: $f_{\text{ж}}=n_0/\Phi_{\text{ж}}$ (луч выходит в ту же среду с показателем $n_0$): $$f_{\text{ж}}=\frac{1{,}7}{2{,}0}=0{,}85\text{ м}=85\text{ см}.$$ ==== Ответ ==== $\Phi_{\text{ж}}=2{,}0$ дптр (линза стала собирающей), $f_{\text{ж}}=0{,}85$ м $=85$ см. ===== Задача 10 ===== ==== Условие ==== Лампа находится на расстоянии $l=90$ см от стены. На каком расстоянии $f$ от стены следует разместить собирающую линзу с фокусным расстоянием $F=20$ см, чтобы получить на стене чёткое изображение нити накала лампы? Главная оптическая ось линзы должна быть перпендикулярна стене. ==== Решение ==== Пусть $x$ — расстояние от лампы до линзы, тогда расстояние от линзы до стены — $l-x$, и по формуле линзы $$\frac1x+\frac1{l-x}=\frac1F\ \Longrightarrow\ \frac l{x(l-x)}=\frac1F\ \Longrightarrow\ x^2-lx+Fl=0.$$ Отсюда $$x_{1,2}=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4Fl}}2.$$ Подставляя $l=90$ см, $F=20$ см: $l^2-4Fl=8100-7200=900$, $\sqrt{900}=30$, так что $x_1=\dfrac{90-30}2=30$ см, $x_2=\dfrac{90+30}2=60$ см. Расстояние от линзы до стены $f=l-x$: при $x_1=30$ см — $f_1=60$ см; при $x_2=60$ см — $f_2=30$ см (два симметричных положения линзы, что согласуется с обратимостью хода лучей). ==== Ответ ==== $f_1=30$ см или $f_2=60$ см (два возможных положения линзы).